Bonjour,
je commence les constructions à la regle et au compas dans la théorie de Galois, c'est trés interessant mais j'ai qqls problemes dés le début :happy2:
Je rappelle l'énoncé et la premiere question (on verra pour les prochaines):
On dit que
est
constructible à la regle et au compas s'il existe une suite d'extensions quadratiques
avec
QUESTION 1:Soit
constructible à la regle et au compas.
Montrer que
est algébrique sur
.
Soit
le corps de décomposition du polynome minimal de
sur
.
Montrer que l'extension
est de degré une puissance de 2.
Mes (ébauches de) réponses:Il existe une suite d'extensions quadratiques
avec
.
Pour tout O<i<n on a
est de degré 2 donc algébrique (car extension finie). Par composition l'extension
est algébrique donc
est algébrique sur
.
Soit maintenant
le corps de décomposition du polynome minimal de
sur
.
J'appelle
les conjugués de
(compris
) . Alors L est le corps engendré par
et les
. (A-t-on une condition sur
?) Pour simplifier les écritures je pose m=2.
Put-on écrire
 \mathbb{Q}(a_2))
le sous-corps engendré par
 \cup \mathbb{Q}(a_2))
? Si oui alors
 \mathbb{Q}(a_2): \mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(a_1) : \mathbb{Q}] \times [\mathbb{Q}(a_2) : \mathbb{Q}])
pour
on a
 : \mathbb{Q}] = 2^m)
, où
puisque
 \in K_n)
.
Par contre je n'arrive pas à le montrer pour son conjugué... pourquoi
 : \mathbb{Q}] = 2^p)
, où
. A-t-on
??
Une questionSi x est algebrique de degré d sur K alors K(x)/K est de degré d. La réciproque est-elle vraie??
mercii
