Two Galois Group Examples

[ortollj]

Bonjour
est ce que quelqu'un pourrait me donner une explication, je suis perdu !
je ne suis pas sur que quelqu'un reponde a mes question sur Youtube.
j'ai repondu a Ken Florek(voir ma reponse), (enfin "repondu" est un bien grand mot, vu que je ne comprends pas )

https://www.youtube.com/watch?v=lJobL2jwpZU&index=46&list=PLL0ATV5XYF8DTGAPKRPtYa4E8rOLcw88y
je repete ci dessous mes questions.

Bonjour Ken Florek
tu as raison
Il semble que pour le corps il existerait 2 polynomes minimal !.
est ce que est different de ?
Parce qu'ils ne semblent pas avoir la meme base vectorielle:
pour et ?.
Est ce que je me trompe ?


oops j'ai ecrit une betise grosse comme moi :
?.
en fait ils semblent tous les deux avoir la meme base !

[Ben314]

Salut,
Je suis pas sûr de comprendre ta question et j'ai pas trop envie de regarder une vidéo de math (*), mais on peut essayer :

... ?

Tu est vraiment bien sûr que l'ensemble des ce soit un corps ?
En particulier, pour parler du "basique de chez basiquede chez basique" tu pense vraiment que la multiplication soit une loi interne sur cet ensemble ?
Parce que, perso, j'ai un tout petit peu des doutes concernant le fait que le produit de avec lui même ça puisse s'écrire sous la forme .

(*) Quand je regarde les deux "options classiques" pour comprendre des math, à savoir :
- Un cours ou le prof peut immédiatement répondre aux question, mais où il faut suivre le fils (pas trop de "retour arrière" possible).
- Un texte où il y a une table des matières voir mieux sur support informatique : des lien directs à cliquer ou des infos-bulles (pour retrouver les définition par exemple) permettant de très rapides retours en arrière (mais pas la possibilité d'avoir de réponse immédiates à toutes les question qu'on peut se poser)
Ben a mon sens, une vidéo, ça allie... les inconvénients des deux sans avoir aucun des avantages respectifs.
Donc je serais assez catégorique concernant le fait que, pour moi, c'est un support sans le moindre intérêt dans le cadre des mathématiques.
Si tu veut, on peut en discuter : c'est quoi à ton sens l'intérêt de ce support par rapport par exemple à de "l'écrit informatique" où on peut parfaitement mettre des dessin, et/ou des animations mais ou on peut aussi (surtout) sauter des gros passages déjà compris ou revenir en un seul clic en arrière pour revoir une définition ou un théorème important.

EDIT : j'avais pas vu ton "oups" (et c'est effectivement une "grosse bétise").
De plus, c'est pas la peine de regarder s'ils on "la même base" ou pas (j'espère que tu as quand même fait un minimum d'algèbre linéaire...) : il te suffit de vérifier qu'ils ont la même dimension et que l'un des deux est contnu dans l'autre (par exemple que tout les éléments d'une base de l'un sont bien dans l'autre)

[ortollj]

Ben en fait , j'ai essayé de suivre le cours de l'ENS introduction a la theorie de Galois et je me suis trouvé largué
dés la deuxieme semaine, ensuite j'ai voulu suivre introduction a la theorie de Galois sur Coursera par Ekaterina Amerik et je n'ai pas reussi a passer le test de la 3em semaine !.
j'ai comme l'impression que mon QI de bourrin m'empêche de comprendre cette theorie
aussi le weekend j'essaye d'autre chose.

[Ben314]

J'irais surement pas te reprocher quoi que ce soit : si avec d'autres supports ça a pas donné des résultats terribles, pourquoi pas.
Mais on m'enlèvera pas de l'esprit que, pour "apprendre" les maths, l'idéal c'est de faire des exercices avec un papier et un stylo et, à coté de soit, soit un bouquin, soit des pages web, soit quelqu'un "en chair et en os" qui explique "en direct".

Tu as cherché sur le net les polys (cours + exos) qu'on trouve sur les sites des différentes fac. (de France ou d'ailleurs) ?

[ortollj]

tu preche un converti, je sais que les maths ne s'apprennent qu'en faisant des exercices.
mais avant il faut comprendre le cours .
donc les deux corps sont isomorphe, et il peut y avoir deux polynômes minimal ?

[Ben314]

Il n'y a pas deux polynômes minimal :
- Dans le cas de K=Q[racine(2)+racine(5)], tu peut effectivement chercher "le polynôme minimal", mais ce n'est pas du tout "le polynôme minimal du corps" (ce qui ne veut pas dire grand chose), mais "le polynôme minimal de racine(2)+racine(5)".
Et si tu avait d'un autre coté le corps K2=Q[omega] pour un autre omega, puis que tu calcule (s'il existe) le polynôme minimal de omega et que ce soit pas le même que celui de racine(2)+racine(5), ça ne prouverais pas que K est différent de K2.
Par exemple Q[i] (l'imaginaire i), c'est le même corps que Q[i+1] alors que le polynôme minimal (sur Q) de i, c'est X²+1 et que celui de i+1, c'est (X-1)²+1=X²-2X+2.
- Dans le cas de Q[ racine(2) ; racine(5) ], je vois pas trop ce que ça peut vouloir dire de "calculer le polynôme minimal" vu que le corps en question on te le donne en te disant qu'il est engendré par deux éléments. (par exemple, le p1 de ton premier post, je vois ni à quoi il correspond, ni a quoi il peut te servir).
Si tu voulais calculer le polynôme minimal de quelque chose, il me semble que ce qu'il faudrait faire, c'est de commencer par trouver un omega tel que Q[omega] = Q[ racine(2) ; racine(5) ].
Sauf que, bien entendu, cet omega n'est pas du tout du tout unique donc il y a des tas de "polynôme minimal"
qu'on peut associer à Q[ racine(2) ; racine(5) ]

Bref, cette histoire de polynôme minimal, dans un contexte comme celui là, c'est pas la bonne façon de montrer que les deux corps sont les mêmes.
La "bonne" méthode, c'est souvent d'utiliser de l'algèbre linéaire en commençant par montrer qu'ils ont même dimension (en temps qu'e.v. sur Q bien sûr) puis à montrer que l'un des deux est contenu dans l'autre.

[ortollj]

ok merci Ben314
si j'osais j'aurais encore une question.
je bute sur l'exercice 1.5 de la page 32 de Galois Theory de Ian Stewart:
let prove that the set of all numbers for is a subfield of je ne sais pas trop par quel bout le prendre ! si tu pouvais me donner une indication. apres c'est promis je ne t'embete plus.
je veux dire dois je faire tous les calculs multiplication et division et prouver la cloture ?

[Ben314]

Montrer qu'un truc est un "sous quelque chose", ça consiste à montrer que c'est stable pour les opérations existant sur le truc en question.
Pour un corps, vu la définition de "corps", en théorie il faut montrer que :
- 0 et 1 sont dans le sous corps.
- La somme et le produit de deux éléments du sous corps est dans le sous corps.
- L'opposé et l'inverse d'un élément du sous corps est dans le sous corps (l'élément étant évidement non nul pour l'inverse).

Et éventuellement, on peut (légèrement) raccourcir, par exemple montrer la stabilité de la somme et de l'opposé en montrant x-y est dedans lorsque x et y sont dedans.
Mais on peut pas dire que ça diminue "considérablement" le laïus : très souvent tout est évident sauf un ou deux trucs. Par exemple ici, le seul truc pas évident, c'est le passage à l'inverse si on veut tout faire "à la main".

[wserdx]

Peut-être que le plus simple ici est d'identifier cet ensemble à Q[X]/(X^3-2), et de montrer que X^3-2 est irréductible sur Q ?

[Ben314]

Si tu as vu les théorème en question, c'est effectivement (et de très loin) le plus court vu que ça demande une demi ligne.
Par contre, une fois cette demi ligne écrite, ça m'intéresserait de voir si tu est capable de calculer l'inverse de par exemple.

[ortollj]

je l'ai fait hier soir,ca n'est pas tres compliqué mais rebarbatif, beaucoup d'Algebre a manipuler.on dit que
il suffit de faire la multiplication de deux elements de regrouper par ,
on pose p=1 q=0 et r=0 et on a un systeme de trois equations a trois inconnus .
on obtient p2=P/D ,q2=Q/D et ,r2=R/D mais la il y a un hic c'est qu'il faut pouvoir prouver que D n'est jamais zero et pour l'instant je ne sais pas faire
de plus je ne suis pas sur de ne pas avoir fait d'erreur .
je suis au boulot. je regarderai ca de plus pres ce soir.

[Ben314]

C'est effectivement une méthode et, dans un cas particulier comme celui que je te donnais, ça marche parfaitement.
Mais c'est un peu long et effectivement, c'est pas évident de justifier dans le cas général que D est non nul si on reste "à raz les pâquerettes" (i.e. sans faire de théorie du tout). En fait, ton D, c'est un produit, mais si tu l'a sous forme développé, c'est pas du tout facile à voir : l'un des facteur, c'est comme par hasard et les autres, ce sont les "conjugués" de celui là.

Sinon, si on veut un peu s'approcher de la théorie, pour calculer l'inverse de , on peut chercher deux polynômes A(X) et B(X) de Q[X] tels que .
a) Pourquoi deux tels polynômes existent-ils forcément ?
b) Comment peut-on faire pour les trouver ? (fait le)
c) Pourquoi cela permet-il de trouver l'inverse de ?

[ortollj]

je rappelle que cet exercice 1.5 est au chapitre 1 du bouquin ,dans le cours, il nous a appris ce qu'est un corps
ils nous apprend a resoudre les equations de degré <5 par la méthode des radicaux et c'est tout.

[Ben314]

Peut-être que le plus simple ici est d'identifier cet ensemble à Q[X]/(X^3-2), et de montrer que X^3-2 est irréductible sur Q ?

Si tu as vu ça c'est que forcément tu sait répondre aux questions a), b) et c).
Sans parler du fait que le principe est exactement le même que celui utilisé pour trouver par exemple l'inverse de 29 dans Z/100Z.

[wserdx]

Oups, c'était juste pour apporter une (petite) contribution. J'ai mis un point d'interrogation, mais juste rhétorique...
Je me suis posé la question d'une formule pour l'inverse, n'utilisant pas l'algèbre linéaire.
Du coup, notons les trois racines (de ) de
pour (identifié à ) non nul,
son inverse est
...

[ortollj]

a)
p_1(x)=x^2 +2*x +3 ;
p_2(x)=x^3 -2
ρ=e^(2*pi*i/3)
r=2^(1/3)
p_1(x)= (x-(-1-i*sqrt(2)))* (x-(-1+i*sqrt(2)))
p_2(x)=(x - r*ρ) *(x - r*ρ^2)*(x - r)
comme p_1(x) et p_2(x) n'ont pas de racines communes , ils sont premier entre eux
et Le théorème de Bézout affirme que l'équation . admet des solutions,
si et seulement si les polynomes p_1(x) et p_2(x) sont premiers entre eux.


https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... %C3%A9zout

b)
(x^2 +2*x +3)*A(x) +(x^3 -2)B(x)=1
x^2 A(x) + 2 x A(x) + 3 A(x) + x^3 B(x) - 2 B(x) = 1
A(x)=(p1 +q1*x +r1*x^2) ,B(x)=(p2 +q2*x +r2*x^2)

x^2 (p1 +q1*x +r1*x^2) + 2 x (p1 +q1*x +r1*x^2) + 3 (p1 +q1*x +r1*x^2) + x^3 (p2 +q2*x +r2*x^2) - 2 (p2 +q2*x +r2*x^2) = 1

p1*x^2 + q1*x^3 + r1*x^4 + 2*x*p1 + 2*q1*x^2 +2*r1*x^3 + 3*p1 + 3*q1*x +3*r1*x^2 + p2*x^3 + q2*x^4 + r2*x^5 -2*p2 -2*q2*x -2*r2*x^2 = 1

3*p1 -2*p2 -2*q2*x + 2*x*p1 + 3*q1*x + p1*x^2 + 2*q1*x^2 + 3*r1*x^2 -2*r2*x^2 + q1*x^3 + 2*r1*x^3 + p2*x^3 + r1*x^4 + q2*x^4 + r2*x^5 = 1

3*p1 -2*p2=1
-2*q2 + 2*p1 + 3*q1=0
p1 + 2*q1 + 3*r1 -2*r2=0
q1 + 2*r1 + p2=0
r1 + q2=0
r2=0

p1 = 5/11 and p2 = 2/11 and q1 = -4/11 and q2 = -1/11 and r1 = 1/11

A(x)=5/11 -4*x/11 + x^2/11
B(x)=2/11 -x/11

voila deja les deux premieres reponses, je suis vanné je verrai le c) demain soir.
merci Ben314

[Ben314]

C'est bon, mais dans les deux cas, on peut faire un peu différemment :

- Pour le a) tu peut simplement dire que, vu que P=X^3-2 est irréductible dans Q[X], il est premier avec tout polynôme de Q[X] non multiple de P, donc en particulier avec tout ceux de d°<=2. Ca permet de voir que non seulement ça marche avec le polynôme que j'ai pris, mais aussi avec n'importe quel polynôme de d°<=2.

- Pour le b), j'ai pas regardé les calculs. Le principe est évidement O.K., mais c'est bien long. En général, on utilise plutôt l'algorithme d'Euclide (étendu) pour trouver les polynômes A et B (exactement comme pour trouver l'inverse de 27 modulo 100 où on cherche a et b tels que 27a+100b=1)

[ortollj]

Oups, c'était juste pour apporter une (petite) contribution. J'ai mis un point d'interrogation, mais juste rhétorique...
Je me suis posé la question d'une formule pour l'inverse, n'utilisant pas l'algèbre linéaire.
Du coup, notons les trois racines (de ) de
pour (identifié à ) non nul,
son inverse est
...

wserdx tu es sur de ta formule ?
je viens de la tester avec Scilab (Bon j'ai peut etre fais une erreur !)
P(ρ)*Inv<> 1.
et que signifie les 3 petits points ? (...)

Code: Tout sélectionner

 x=poly(0,'x') ;
p=round(rand()*14 -7);
q=round(rand()*14 -7);
r=round(rand()*14 -7);
function y=P(x)
y=p + q *x + r *x^2;
endfunction
θ=%e^(2*%pi*%i/3);
ρ=2^(1/3);
α=ρ*θ;
a=α;
b=α^2;
c=α^3;
Inv=(x-c)*(x-b)/((a-c)*(a-b) *P(a))  + (x-a)*(x-c)/((b-a)*(b-c)*P(b)) + (x-a)*(x-b)/((c-a)*(c-b) *P(c));
P(ρ)*Inv


edited: attention j'avais oublié dans le code au dessus je viens de l'ajouter

[Ben314]

Je sais pas trop ce qu'il a bricolé avec ces trucs (mais j'ai pas trop regardé...) : déjà, l'inverse qu'il "donne", c'est un polynôme en x est pas un élément de Q[alpha] (=Q[a] avec ces notations) et en plus, si on prend x=a dans son polynôme, ça donne que l'inverse de P(a) c'est 1/P(A) ce qui n'a évidement pas le moindre intérêt...

Le truc bien connu qui ressemble à ce qu'il dit, c'est que :

Si on note , et les trois racines (dans ) de alors, pour tout polynôme , on a et est nul ssi est nul (i.e. ssi divise ).
Et on en déduit que l'inverse de (supposé non nul) est .

EDIT : Je viens de regarder le truc de wserdx : son polynôme, c'est simplement l'unique polynôme L de degré <=2 tel que L(a)=1/P(a) ;L(b)=1/P(b) ; L(c)=1/P(c) donc tel que le polynôme LP-1 ait pour racines a,b,c donc soit divisible par X^3-1. Mais je vois franchement pas l'intérêt en ce qui concerne le calcul de 1/P(a) vu que 1/P(a) il apparait déjà dans la définition de L(X)...

[Ben314]

Sinon, as-tu appliqué l'algo. d'Euclide pour trouver A et B tels que ?