Fractions rationnelles

[L.A.]

Bonjour à tous,

en théorie le corps ( étant un corps de caractéristique nulle, éventuellement algébriquement clos) est de dimension finie sur le sous-corps ( un entier).

Quelqu'un saurait-il trouver une base ou simplement la dimension (vraisemblablement égale à a) ?
Merci :zen:

[barbu23]

Bonjour @L.A. : :happy3:

Je ne suis pas sûr de pouvoir écrire quelques choses de plus sensé car ça fait longtemps que je ne m’intéresse pas à ce domaine, et je m'embrouille vite avec les notations de ton problème.
Tu dis que est un sous corps de , donc, est une extension de , non ? Je ne sais pas si c'est une extension finie pour le moment à cause de ce qui suit :
avec : polynôme minimal de sur , non ?
Je ne sais pas quel est le degré de pour pouvoir en déduire la dimension de .

J'espère que ce que je dis est correct. Je ne suis pas totalement sûr de ce que j'ai dit. A toi de les corriger. :happy3:

Cordialement. :happy3:

Edit : Le polynôme minimal est donc : de degré , il me semble, donc, la dimension de est , non ?

[barbu23]

Le polynôme minimal est donc : de degré , il me semble, donc, la dimension de est , non ?

[L.A.]

Bonjour, merci pour ta réponse, je me permets de corriger

avec : polynôme minimal de sur , non ?

En fait K(X) = (K(X^a))(X) est engendré par X et X est évidemment algébrique sur K(X^a) puisque X^a - (X^a) = 0. Le polynôme minimal P(T) de X sur K(X^a) divise donc T^a - (X^a), le degré de l'extension est donc inférieur à a, et égal à a parce qu'il n'y a pas trop le choix...

Merci, c'était tout simple en fait, mais je me suis aussi un peu perdu dans les notations :mur: :zen:

[barbu23]

Je suis ravi de t'aider @L.A., comme toi aussi tu n'hésites pas à m'aider de temps en temps en théorie des schémas. :we:

[barbu23]

Bonjour, merci pour ta réponse, je me permets de corriger



En fait K(X) = (K(X^a))(X) est engendré par X et X est évidemment algébrique sur K(X^a) puisque X^a - (X^a) = 0. Le polynôme minimal P(T) de X sur K(X^a) divise donc T^a - (X^a), le degré de l'extension est donc inférieur à a, et égal à a parce qu'il n'y a pas trop le choix...

Merci, c'était tout simple en fait, mais je me suis aussi un peu perdu dans les notations :mur: :zen:

n'est pas minimal en il me semble. :happy3:

[Ben314]

n'est pas minimal en il me semble. :happy3:

ça m'intéresserait fort de voir comment tu le factorise dans K(X^a)[T]...

[barbu23]

ça peut pas être : avec : , non ?
De toute façon, ce n'est pas la factorisation qui nous intéresse là, mais le fait que : .

[Ben314]

Tu est vraiment sur que, par exemple, ?

[barbu23]

J'ai modifié mon message précédent. :happy3:
Tu peux le regarder ?

[L.A.]

P(T) = T^a - (X^a) est bien irréductible dans K(X^a)[T], par le critère d'Eisenstein par exemple (X^a engendre bien un idéal premier dans K[X^a], tout comme Y engendre un idéal premier dans K[Y])