Formule de Pascal

[capitaine nuggets]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour comprendre le raisonnement par dénombrements de la formule de Pascal :
.

Je n'arrive vraiment pas à comprendre le cheminement :

Je dis que par définition, désigne le nombre de sous-ensemble à éléments dans un ensemble à éléments.
Soit cet ensemble et .
.

Mais après je ne vois pas comment poursuivre

[jlb]

Bonsoir,
tu as fixé un des éléments, tu considéres les ensembles à p éléments le contenant ( tu as ton élément et p-1 éléments choisis parmi n-1 éléments) et ceux ne le contenant pas ( tu as p éléments choisis parmi n-1 éléments) et cela doit faire le compte

[capitaine nuggets]

Ok, mais comment le traduire mathématiquement ?

Bonsoir,
tu as fixé un des éléments, tu considéres les ensembles à p éléments le contenant ( tu as ton élément et p-1 éléments choisis parmi n-1 éléments) et ceux ne le contenant pas ( tu as p éléments choisis parmi n-1 éléments) et cela doit faire le compte

Je cherche à traduire cette idée de manière formelle en écrivant P_p(E) comme réunion disjointe de deux ensembles dont les cardinaux seront ceux que l'on cherchent :

Les ensembles à p éléments contenant a sont donc :


Les ensembles à p éléments ne contenant pas a sont donc :


Du coup, ?

[capitaine nuggets]

Bonsoir,
tu as fixé un des éléments, tu considéres les ensembles à p éléments le contenant ( tu as ton élément et p-1 éléments choisis parmi n-1 éléments) et ceux ne le contenant pas ( tu as p éléments choisis parmi n-1 éléments) et cela doit faire le compte

Les ensembles à p éléments contenant a sont donc :


Les ensembles à p éléments ne contenant pas a sont donc :


Du coup, ?

[capitaine nuggets]

Ok, mais comment le traduire mathématiquement ?

Bonsoir,
tu as fixé un des éléments, tu considéres les ensembles à p éléments le contenant ( tu as ton élément et p-1 éléments choisis parmi n-1 éléments) et ceux ne le contenant pas ( tu as p éléments choisis parmi n-1 éléments) et cela doit faire le compte

Je cherche à traduire cette idée de manière formelle en écrivant P_p(E) comme réunion disjointe de deux ensembles dont les cardinaux seront ceux que l'on cherchent :

Les ensembles à p éléments contenant a sont donc :


Les ensembles à p éléments ne contenant pas a sont donc :


Du coup, ?

[Doraki]

Ta notation est pas super.
Techniquement, {a} u P_{p-1}(E \ {a}) c'est l'ensemble contenant a et les parties à p-1 éléments de E\{a}.
Alors que toi tu veux l'image de P_{p-1}(E \ {a}) par la fonction X -> X u {a}.
Donc tu donnes un nom à cette fonction, par exemple fa, et tu dis fa(P_{p-1}(E\{a})).

Et donc P_p(E) = la réunion disjointe de P_p(E\{a}) et de fa(P_{p-1}(E\{a}))

[capitaine nuggets]

Ta notation est pas super.
Techniquement, {a} u P_{p-1}(E \ {a}) c'est l'ensemble contenant a et les parties à p-1 éléments de E\{a}.
Alors que toi tu veux l'image de P_{p-1}(E \ {a}) par la fonction X -> X u {a}.
Donc tu donnes un nom à cette fonction, par exemple fa, et tu dis fa(P_{p-1}(E\{a})).

Et donc P_p(E) = la réunion disjointe de P_p(E\{a}) et de fa(P_{p-1}(E\{a}))

Ah oui, c'est pas idiot ça !
Mais f_a va de quoi dans quoi ?

Mais le problème est que quand lorsque tu dis "tu veux l'image de P_{p-1}(E \ {a})", a est-il dedans ou non ?

Du coup, comment trouver le nombre de sous-ensembles à p éléments dans n contenant a à partir de fa(P_{p-1}(E\{a})) ?

[Doraki]

f_a est la bijection de P_{p-1}(E\{a}) dans {X de P_p(E) / a appartient à X}
qui à une partie X à p-1 éléments de E\{a} associe la partie X u {a} à p éléments de E.

P_p(E) est la réunion disjointe de {X de P_p(E) / a appartient à X} et de {X de P_p(E) / a n'appartient pas à X}
Le premier morceau est donc en bijection (via fa) avec P_{p-1}(E\{a}),
et le deuxième morceau est P_p(E\{a})

[Doraki]

a est-il dedans ou non ?

non, a n'est pas une partie de E à p éléments qui contient a donc il n'est pas dans fa(P_{p-1}(E\{a}))

[capitaine nuggets]

non, a n'est pas une partie de E à p éléments qui contient a donc il n'est pas dans fa(P_{p-1}(E\{a}))

Du coup, on le compte ou pas ?
Comment le sais-t-on si on le compte ou non ?

[Doraki]

Tu veux compter quoi ?

[capitaine nuggets]

Salut !

C'et bon, j'ai compris le raisonnement, merci :++: