Limacons de Pascal

[Babe]

Bonjour à tous

je bute un peu sur cet exercice

Soit C un cercle de centre (1,0) et de rayon 1

a) Determinez une equation polaire de C

b) Soit D une droite passant par l'origine qui coupe C en un point P. On construit sur D deux points M et N distincts te lque d(P;M)=d(P;N)=a ou a est un reel strictement positif fixé
Determinez une equation polaire de l'ensemble gamma decrit par les points M et N si l'on varie D

c) Determinez, lorsque a decrit ]0;+oo[, l'ensemble des points des courbes gamma, dont la tangente est verticale

donc pour la a) jsuis parti de l'equation cartesienne
(x-1)^2 + y^2 =1
(rcos(O)-1)^2 + (rsin(O))^2 =1
r^2(cos^2(O)+sin^2(O))=2rcos(O)

==> r=2cos(O) (avec O=teta)
jusque la je pense que c'est juste

pour la suite je bloque

merci d'avance

[alben]

bonjour,
Ok pour le a et le b en découle très simplement puisque, a étant fixé, r' sera égal à r+a et r" à r-a pour le même angle O. r' et r" correspondant aux points M et N
Je pense que ça te bloque parce que c'est trop simple !

[Babe]

ce qui m'embete, c'est l'ecriture de l'equation polaire pour toute variation

[alben]

oui j'avais trouvé ces relations
ce qui m'embete, c'est l'ecriture de l'equation polaire pour toute variation

variation de quoi ? Dans la question c il faut considérer aussi que a est fixe et calculer les cordonnées des points verticaux en fonction de a.
Ce n'est qu'ensuite que l'on regarde ce qui se passe quand a varie

[Babe]

je veux dire pour l'equation polaire de l'ensemble (question b)

[alben]

b) On construit sur D deux points M et N distincts te lque d(P;M)=d(P;N)=a

ah tu as supprimé Pythagore :id:
Il y a deux équations polaires, l'une pour M, l'autre pour N

[Babe]

ah tu as supprimé Pythagore :id:
Il y a deux équations polaires, l'une pour M, l'autre pour N

oui pour eviter que notre bon pythagore se retourne dans sa tombe et se cogne :lol2:

[Babe]

je fais peut etre trop attention a l'enoncé mais il dise "une" equation polaire de l'ensemble gamma

[alben]

Oui tu as raison, je n'avais pas fait attention mais tes deux courbes se ferment l'une sur l'autre
Il te suffit d'étendre le domaine de définition de -pi à pi (au lieu de -pi/2 à pi/2) pour que n'importe laquelle des deux équations te donne toute la courbe

[Babe]

ce que tu appelle r' et r", c'est bien la variation de M (resp N) quand on bouge (D)
(dsl mais il m'embrouille cet exo :briques: )

[alben]

Ce que j'appelle r' et r" ce sont les distances des points M et N à l'origine lorsque la droite D fait un angle O avec l'axe des abcisses.
A aucun moment, on ne calcule la moindre variation.... simplement l'angle O change et aussi les distances.
Autrement dit, r'=2cosO-a c'est l'équation polaire de M... O prenant toutes les valeurs de -pi/2 à +pi/2. Et chose inattendue, si l'on prend O de +pi/2 à 3pi/2 la même équation décrit la courbe de N