Formule de Grassmann

[capitaine nuggets]

Bonjour,

Pour F et G deux sev de dim finie d'un même ev E, je voudrais démontrer la formule de Grassmann en considérant le supplémentaire de dans (i.e. ), mais j'ai un peu de mal à trouver le fil directeur de la preuve :triste:

Merci d'avance pour votre aide :++:

[adrien69]

Bonjour,

Pour F et G deux sev de dim finie d'un même ev E, je voudrais démontrer la formule de Grassmann en considérant le supplémentaire de dans (i.e. ), mais j'ai un peu de mal à trouver le fil directeur de la preuve :triste:

Merci d'avance pour votre aide :++:

Raté !

Alors, F' et sont supplémentaires, donc dim(F)=dim(F')+dim(bidule)
, dim(G)=dim(G')+dim(bidule)
donc dim(F+G)=dim(G')+dim(F')+dim(bidule)
car G' et F' sont en somme directe puisque si x est dans l'intersection, x est dans F et dans G donc dans mais aussi dans G' donc est nul.
Ainsi on se retrouve avec le résultat en remettant tout ensemble.

[ffpower]

Montre que

Après si tu sais calculer la dimension d'une somme directe, c'est à peu près gagné.

[adrien69]

On n'a définitivement pas les mêmes méthodes hein ^^

[ffpower]

:ptdr:

Disons que vu qu'il ne définit que F', j'ai préféré resté sur cette version.

Après, découper en 2 ou en 3, je suppose que c'est une question de gout et j'ai pas de préférence particulière là dessus :)

[capitaine nuggets]

Raté !

Alors, F' et sont supplémentaires, donc dim(F)=dim(F')+dim(bidule)
, dim(G)=dim(G')+dim(bidule)
donc dim(F+G)=dim(G')+dim(F')+dim(bidule)
car G' et F' sont en somme directe puisque si x est dans l'intersection, x est dans F et dans G donc dans mais aussi dans G' donc est nul.
Ainsi on se retrouve avec le résultat en remettant tout ensemble.

yeah :++:
merci

Montre que

Après si tu sais calculer la dimension d'une somme directe, c'est à peu près gagné.

Pourquoi montrer que ?

[adrien69]

Parce que tu connais dim(F')

[capitaine nuggets]

Raté !

Oulà oui, j'avais même pas remarqué la bourde :lol3:

Juste une autre question, j'ai remarqué que cette formule ressemblait beaucoup à celle de Poincaré :

.

J'ai utilisé le même genre de dessin avec les "patates" (j'ai assimilé et à des ensembles avec une intersection ), ai-je eu raison ou cela aurait-il pu me donner une fausse intuition ?

Raté !

Alors, F' et sont supplémentaires, donc dim(F)=dim(F')+dim(bidule)
, dim(G)=dim(G')+dim(bidule)
donc dim(F+G)=dim(G')+dim(F')+dim(bidule)
car G' et F' sont en somme directe puisque si x est dans l'intersection, x est dans F et dans G donc dans mais aussi dans G' donc est nul.
Ainsi on se retrouve avec le résultat en remettant tout ensemble.

Juste, j'ai du mal à bien comprendre comment tu arrives à "dim(F+G)=dim(G')+dim(F')+dim(bidule)" en combinant les deux égalités de dim(F) et dim(G)

[capitaine nuggets]

Raté !

Oulà oui, j'avais même pas remarqué la bourde :lol3:

Juste une autre question, j'ai remarqué que cette formule ressemblait beaucoup à celle de Poincaré :

.

J'ai utilisé le même genre de dessin avec les "patates" (j'ai assimilé et à des ensembles avec une intersection ), ai-je eu raison ou cela aurait-il pu me donner une fausse intuition ?

Raté !

Alors, F' et sont supplémentaires, donc dim(F)=dim(F')+dim(bidule)
, dim(G)=dim(G')+dim(bidule)
donc dim(F+G)=dim(G')+dim(F')+dim(bidule)
car G' et F' sont en somme directe puisque si x est dans l'intersection, x est dans F et dans G donc dans mais aussi dans G' donc est nul.
Ainsi on se retrouve avec le résultat en remettant tout ensemble.

Juste, j'ai du mal à bien comprendre comment tu arrives à "dim(F+G)=dim(G')+dim(F')+dim(bidule)" en combinant les deux égalités de dim(F) et dim(G)

Parce que tu connais dim(F')

Ah bon ? Et que vaut-elle ?

[capitaine nuggets]

Raté !

Oulà oui, j'avais même pas remarqué la bourde :lol3:

Juste une autre question, j'ai remarqué que cette formule ressemblait beaucoup à celle de Poincaré :

.

J'ai utilisé le même genre de dessin avec les "patates" (j'ai assimilé et à des ensembles avec une intersection ), ai-je eu raison ou cela aurait-il pu me donner une fausse intuition ?

Raté !

Alors, F' et sont supplémentaires, donc dim(F)=dim(F')+dim(bidule)
, dim(G)=dim(G')+dim(bidule)
donc dim(F+G)=dim(G')+dim(F')+dim(bidule)
car G' et F' sont en somme directe puisque si x est dans l'intersection, x est dans F et dans G donc dans mais aussi dans G' donc est nul.
Ainsi on se retrouve avec le résultat en remettant tout ensemble.

Juste, j'ai du mal à bien comprendre comment tu arrives à "dim(F+G)=dim(G')+dim(F')+dim(bidule)" en combinant les deux égalités de dim(F) et dim(G)

Parce que tu connais dim(F')

Ah bon ? Et que vaut-elle ?

[adrien69]

T'as raison, une autre façon de démontrer c'est avec le cardinal des bases et en utilisant donc la formule de Poincaré.
Ensuite, je dis que F' et G' sont en somme directe, et F' et aussi et G' et aussi. Par contre , donc il n'apparaît qu'une fois dans la somme qui suit :
Au pire tu peux vérifier à la main que c'est bien vrai en faisant une double inclusion si tu as peur.

Pour le reste, tu as donc dim(F)=dim(F')+dim(bidule). En isolant dim(F')...

[capitaine nuggets]

Ok, merci beaucoup pour votre aide :++:

[Doraki]

Juste une autre question, j'ai remarqué que cette formule ressemblait beaucoup à celle de Poincaré :

.

J'ai utilisé le même genre de dessin avec les "patates" (j'ai assimilé et à des ensembles avec une intersection ), ai-je eu raison ou cela aurait-il pu me donner une fausse intuition ?

ça te donne une fausse intuition dès que tu as plus de 2 sev :

card(A u B u C) = card (A) + card (B) + card (C) - card (A ^ B) - card (A ^ C) - card (B ^ C) + card (A ^ B ^ C)

mais

dim (A+B+C) est généralement différent de dim A + dim B + dim C - dim (A^B) - dim (A^C) - dim (B^C) + dim (A^B^C).

Par exemple si tu prends A,B,C = 3 droites distinctes dans un plan,
à gauche tu as 2, et à droite tu as 1+1+1-0-0-0+0 = 3.

[capitaine nuggets]

ça te donne une fausse intuition dès que tu as plus de 2 sev :

card(A u B u C) = card (A) + card (B) + card (C) - card (A ^ B) - card (A ^ C) - card (B ^ C) + card (A ^ B ^ C)

mais

dim (A+B+C) est généralement différent de dim A + dim B + dim C - dim (A^B) - dim (A^C) - dim (B^C) + dim (A^B^C).

Par exemple si tu prends A,B,C = 3 droites distinctes dans un plan,
à gauche tu as 2, et à droite tu as 1+1+1-0-0-0+0 = 3.

Du coup, pourrais-t-on exprimer dim (A+B+C) ? Et en fonction de quoi ?

[Doraki]

Tu dis que A+B+C = (A+B)+C et tu utilises la formule que tu connais 2 fois de suite.

[capitaine nuggets]

Ok.

Une autre petite question : Comment montrer l'associativité de la somme directe alors ?