Formes quadratiques et algorithme de Gauss

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matheuxendetresse
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Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par matheuxendetresse » 16 Mai 2024, 12:44

Bonjour,

J'ai une question par rapport au lien entre l'élimination de Gauss, et la réduction de Gauss des formes quadratiques:
Si on a une forme quadratique par exemple et sa matrice
Est-ce que décomposer en carrés la forme quadratique en utilisant la réduction de Gauss, revient à échelonner sa matrice par l'élimination de Gauss (pivot).
Par exemple, si la matrice échelonnée est:

Alors la forme quadratique :



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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par matheuxendetresse » 16 Mai 2024, 13:57

Je corrige:

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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par Ben314 » 16 Mai 2024, 14:18

Salut,
Je ne comprend rien à ce que tu raconte . . .
Quand tu as une forme quadratique et que tu veut lui associer une matrice, ben en général, c'est la matrice de l'unique forme bilinéaire symétrique associée à ta forme quadratique (vu que si on ne suppose pas la forme symétrique, ben y'a des tas de possibilités) donc, par construction même, la matrice est symétrique.
Donc je ne comprend franchement pas ce qu'est ta matrice M' : c'est sensé être la matrice de quoi ? (et dans quelle base ?)
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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par matheuxendetresse » 16 Mai 2024, 14:53

Salut,

Oui, je sais que la matrice d'une forme quadratique est symétrique, je prétends pas que soit la matrice d'une forme quadratique.

La matrice c'est la matrice résultante de après application du pivot de Gauss pour échelonner la matrice.
Je sais pas si c'est correct, mais c'est ce que j'ai lu dans ce document:
https://www.jstor.org/stable/2627821

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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par Ben314 » 16 Mai 2024, 15:28

J'ai pas accès à l'article (à part le début qui ne dit rien d’intéressant) et je ne comprend rien à ce que tu fait.
Donc bis et répétita : à ton sens, la matrice M', elle est sensée représenter quoi : je ne te demande pas comment tu la calcule, mais à quoi elle correspond ?
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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par matheuxendetresse » 16 Mai 2024, 15:50

D'après ce que j'ai remarqué, c'est que sa diagonale représente les coefficients devant les carrés (après division par le coefficient antérieur) et que les lignes représentent les vecteurs de la base orthogonale dans la première base (où on a exprimé )
Donc, dans une base orthogonale, la matrice de la forme quadratique s'écrit:



Le document c'est celui là https://drive.google.com/file/d/1zAU2sZELEApeC_I4krConJE9kB3Rz_35/view?usp=sharing

Ma question, c'est, est ce que c'est correct, du fait que, il y a un lien entre l'algorithme de Gauss sur les formes quadratiques et le pivot de Gauss pour inverser une matrice? (car ça marche des fois, et des fois c'est un peu bizarre surtout quand il y a pas les termes .

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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par Ben314 » 16 Mai 2024, 16:06

Je ne comprend toujours rien (et j'ai pas plus accès à l'article avec le deuxième lien qu'avec le premier . . .)
Partons d'un exemple : si ta forme quadratique, c'est , tu écrit quelle matrice et tu propose de faire quoi ensuite ?
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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par matheuxendetresse » 16 Mai 2024, 16:44

C'est ici où j'ai problème, ça va pas marcher, car y a pas de carrés.
Mais, si on part de cette forme:


J'aurais la matrice:



En appliquant le pivot de Gauss:


Et donc, la forme se décompose en carrés de formes linéaire indépendants:

Et en développant on tombe sur la première.

J'ai mis le document sur Mediafire, j'espère que ça marche:
https://www.mediafire.com/file/g2tzknar ... 6.pdf/file

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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par Ben314 » 16 Mai 2024, 21:40

Si on a une matrice symétrique que l'on peut échelonner en une matrice (triangulaire supérieure) sans changer l'ordre des lignes, ça signifie que est triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale.
Si de plus les termes diagonaux de sont non nuls, on peut écrire est diagonale et est triangulaire supèrieure avec des 1 sur la diagonale. On a donc mais, comme est symétrique, on a aussi et l'unicité de la décomposition LU dans ce contexte montre que donc et, pour tout vecteur , on a .
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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par matheuxendetresse » 16 Mai 2024, 21:57

Là je comprends pourquoi!
Mercii énormément!

matheuxendetresse
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Re: Formes quadratiques et algorithme de Gauss

par matheuxendetresse » 18 Mai 2024, 10:29

Bonjour,

J'ai trouvé l'algorithme de réduction en carrés les formes quadratiques sur les matrices (diagonalisation de congruence):

Image
Source: Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, by Lipschutz and Lipson p. 379

Avec un exemple:
Image

 

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