Forme linéaire

[barbu23]

Bonsoir : :happy3:
Soit : un espace vectoriel de dimension : .
Soit : definie par la matrice : telle que :

Soit ( i.e : est une forme linéaire ).
Déterminer l'ensemble des endomorphismes qui laisse invariante.
C'est à dire : :
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Si ta forme l est nulle, il n'y a rien à dire.
Sinon, décompose E en somme directe de Ker(l) et de la droite vectorielle engendrée par un vecteur e tel que l(e)=1 puis regarde ce que donne ta condition pour les x de Ker(l) et pour le vecteur e.

[barbu23]

Donc :
:
Donc implique que :

Ai - je droit de noter :

avec et
Ben, après qu'est ce qu'on fait ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

Je ne comprends pas bien ton idée Ben314. :happy3:
Puisses tu me corriger ce que j'ai ecrit çi dessus ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

On suppose que l est non nulle et on choisi un e tel que l(e)=1.
Si x est dans Ker(l), on veut que l(phi(x))=l(x)=0 donc il faut que phi(x) soit dans Ker(l) : phi(Ker(l)) contenu dans Ker(l)
Si x=e, on veut que l(phi(e))=l(e)=1 donc il faut que phi(e)=e+y ou y est un élément de Ker(l)

En résumé, l'endomorphisme phi doit vérifier phi(Ker(l)) contenu dans Ker(l) et phi(e)-e appartient à Ker(l).
En décomposant un vecteur quelconque de E=Ker(L)+R.e, on voit que ces conditions sont suffisante.

[barbu23]

@Ben314 : :happy3:
Est ce que c'est correct d'écrire comme ça :

Et donc, la matrice associée à devrait verifier la condition :

?
sont les corrdonnés de en appliquant le theorième de Riez sur tel que : .
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Oui (à condition d'avoir précisé que l'on munissait E d'un produit scalaire et que la base dans laquelle phi et y sont écrit est orthonormée)

[barbu23]

Oui (à condition d'avoir précisé que l'on munissait E d'un produit scalaire et que la base dans laquelle phi et y sont écrit est orthonormée)

Donc, l'ensemble des est tout simplement l'ensemble :

C'est un sous espace affine de l'espace affine matriciel.
:happy3: