bonjour à tous !
je peine à comprendre quelque chose qui me paraît pourtant assez élémentaire. Alors voici le problème :
On se donne une forme linéaire L (non nécessairement continue) sur un espace vectoriel E, et on suppose Lx=0 pour tout où H est un hyperplan (vectoriel) de E.
Le but est de montrer que Lx=0 pour tout x de E...
On m'a donné une solution qui me parait fausse... qu'en pensez-vous ?
On prend un vecteur et on écrit . Si on écrit x=h+a.u avec a réel non nul, h dans H, alors et donc Lx=0, i.e. Lh+aLu=0. On divise par a et on fait tendre a vers l'infini et on obtient Lu=0.
Et là on conclue que L=0...
c'est ici mon problème car on a montré Lu=0 pour un vecteur u n'étant pas dans H et non pour tout vecteur de E. Et de toute façon, on savait dès le début que Lu=0 car ...
Alors que faire pour transformer ceci en une preuve correcte ? Une autre idée est peut-être de faire intervenir le noyau de L qui est aussi un hyperplan mais je ne vois pas trop comment...