Forme linéaire nulle en dehors d'un hyperplan

[amstramgram]

bonjour à tous !

je peine à comprendre quelque chose qui me paraît pourtant assez élémentaire. Alors voici le problème :

On se donne une forme linéaire L (non nécessairement continue) sur un espace vectoriel E, et on suppose Lx=0 pour tout où H est un hyperplan (vectoriel) de E.
Le but est de montrer que Lx=0 pour tout x de E...


On m'a donné une solution qui me parait fausse... qu'en pensez-vous ?

On prend un vecteur et on écrit . Si on écrit x=h+a.u avec a réel non nul, h dans H, alors et donc Lx=0, i.e. Lh+aLu=0. On divise par a et on fait tendre a vers l'infini et on obtient Lu=0.
Et là on conclue que L=0...
c'est ici mon problème car on a montré Lu=0 pour un vecteur u n'étant pas dans H et non pour tout vecteur de E. Et de toute façon, on savait dès le début que Lu=0 car ...

Alors que faire pour transformer ceci en une preuve correcte ? Une autre idée est peut-être de faire intervenir le noyau de L qui est aussi un hyperplan mais je ne vois pas trop comment...

[Nightmare]

Salut :happy3:

Effectivement la preuve ne va pas, on veut montrer que la forme linéaire est nulle sur H aussi.

Ton idée est bonne. Si L n'est pas nulle, son noyau est un hyperplan H'. D'après l'hypothèse, cet hyperplan contient le plan tout entier sauf peut être un hyperplan. Cela semble difficile non?

[kazeriahm]

Sinon on reprend à ton écriture x=h+a*u avec a non nul et u hors de H.
Bien sur x n'est pas dans h non plus, donc L(x)=0=L(h)+a*L(u)=L(h)

Donc x s'annule également en h et ce quelque soit h dans H.

[amstramgram]

Si on suppose que L n'est pas nulle, en effet, H'=Ker L est un hyperplan. Notons le complémentaire de H qui est une droite vectorielle.

Donc de deux choses l'une :
- soit R.u n'est pas inclus dans le noyau H' (et donc H'+R.u=E), mais ce cas est impossible d'après l'hypothèse
- soit R.u est inclus dans H'... bah oui on le savait déja par hypothèse... mais je ne vois comment aboutir à une contradiction ici...

"D'après l'hypothèse, cet hyperplan contient le plan tout entier sauf peut être un hyperplan. Cela semble difficile non?"

je ne vois ce qui semble difficile... un hyperplan peut très bien contenir une droite (i.e. le complémentaire d'un autre hyperplan), non ?

[Nightmare]

Je me suis mal exprimé, il fallait lire :

L'hyperplan contient le plan privé d'un hyperplan.

Par un raisonnement sur la dimension ou la codimension si on est en dimension infinie, on voit tout de suite la contradiction.

[amstramgram]

Ok pour ta démonstration kazeriahm, il fallait juste ouvrir les yeux finalement, merci.

par contre, je ne vois toujours pas la contradiction sur les dimensions ou codimensions. avec les mêmes notations que précédemment, l'hypothèse nous dit que et donc, en admettant que nous soyons en dimension finie, on aurait , i.e. ...

[Nightmare]

Tu confonds complémentaire et supplémentaire !

n'est pas égale à 1.

[amstramgram]

arf oui...
mais le complémentaire n'est pas toujours un espace vectoriel, si ?
parce qu'en dimension 3, je serais tenté de dire que la dimension du complémentaire d'un hyperplan (i.e. d'un plan) est 3, et donc ce complémentaire vaut R^3 tout entier, ce qui n'est pas vrai...

enfin bon, je te remercie pour ton aide mais je vais adopter la démonstration de kazeriahm (j'espère ne pas te vexer) et je vais me concentrer sur des questions plus importantes pour moi à l'heure actuelle (j'ai un dossier à terminer!)

merci à vous!

[leon1789]

On se donne une forme linéaire L (non nécessairement continue) sur un espace vectoriel E, et on suppose Lx=0 pour tout où H est un hyperplan (vectoriel) de E.
Le but est de montrer que Lx=0 pour tout x de E...

Soit et . Alors donc L(h+u)=0 . Or L est linéaire et L(u)=0 , donc L(h) = L(h+u)-L(u) = 0-0 = 0

Non ?

[leon1789]

On se donne une forme linéaire L (non nécessairement continue) sur un espace vectoriel E, et on suppose Lx=0 pour tout où H est un hyperplan (vectoriel) de E.
Le but est de montrer que Lx=0 pour tout x de E...

Il me semble que cela se fait assez directement !

Soit et . Alors donc L(h+u)=0 . Or L est linéaire et L(u)=0 , donc L(h) = L(h+u)-L(u) = 0-0 = 0

Non ?

[kazeriahm]

Non ?

Si oiiuiuuu

[amstramgram]

héhé encore mieux merci !