Fonctions, suites

[megane*]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour un exercice qui reprend pas mal de notions d'analyse.

Soient un réel positif et la suite définie par :

Pour tout entier on a .

On définit une fonction f sur l'intervalle par .

J'ai calculé la dérivée f', qui me donne puis montré la concavité de f sur son intervalle de définition.
Dans la question suivante, j'ai montré la convergence de la série de terme général un.

Ensuite j'ai montré que si k est un entier , pour tout réel , on a .

On me demande d'en déduire que .

J'ai essayé pas mal de choses qui ne me donne jamais l'inégalité voulue. Je pense que l'inégalité des accroissements finis est à utiliser mais je ne sais pas comment.

Puis on a et pour tout on a .

J'ai montré que .

On me dit que l'on a deux entiers b et c tels que , je dois montrer que .

J'imagine que je dois utiliser l'inégalité précédente ( celle que je n'arrive déjà pas à montrer ) mais j'aimerais un indice sur la façon de faire intervenir la somme.

Merci beaucoup pour votre aide !

[busard_des_roseaux]

bonjour,

l'idée , c'est que la série S_n se comporte comme
l'intégrale de la fonction

fonction f' , décroissante, strictement positive, qui se primitive "à vue".

trace la courbe représentative de f dans un repère,
écris les sommes de Darboux , minorantes et majorantes, de l'intégrale de f sur le segment [2,n]. En utilisant le fait que f est décroissante.
Ces sommes de Darboux sont aussi les sommes partielles de la série. Elles encadrent l'intégrale de f. les bornes d'intégration sont à préciser.

exemple:
si la décroissance de f' donne:


il ne reste plus qu'à intégrer ces différentes inégalités selon la variable d'intégration (pour les différentes valeurs de l'entier k)
et d'utiliser la relation de Chasles pour obtenir une somme.