Fonctions et suites

[Bourasland]

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour un exercie.
Voici l'énoncé,

Soit . On pose







1) a) Montrer que la fonction peut être prolongée par continuité en 0 en posant .
b) Etudier et en déduire que

2) Etudier et exprimer en fonction de .

3) On pose . Montrer que .
En déduire que converge (sans déterminer sa limite)

bon pour la question 1)a
Pour moi on peut prolonger cette fonction en 0 en posant si,
mais ça n'est pas le cas
pourquoi peut t'on prolonger par continuité alors?

pour ce qui est de l'étude de , j'ai trouvé

mais je suis bloquer pour résoudre

et pour les questions suivantes je n'y arrive pas pour l'instant...
Pourriez vous m'aidez :hein:

[fatal_error]

Bonjour,

Pour le problème du -1 je suis d'accord avec toi. Maple aussi a l'air oO.
-1+ln(1/x)*x+x^2+Oo(x^2)

Si on prolonge par phi(0)=-1 On peut utiliser la dérivée double.
On trouve normalement f strictement croissante sur R+ et/or lim de phi en linfini =0.

Pour la deux :
il faut deriver fn par rapport à x.
Apres c'est une etude, tu cherches le max de fn(x) pour un n donné (normalement tu trouves x=n)

3°) faut remplacer le f de fn(x) par la valeur du sup, donc par n. Ca tombe tout pil \o
Apres je pense qu'ils veulen qu'on disent un=phi(n) donc en linfini Mn+1 = Mn (donc Mn admet une limite?).

[Bourasland]

- c'est bon en fait j'ai trouvé, en posant , on a bien
, d'où la possibilité du prolongement par continuité en 0 :we:
- j'ai dérivé une seconde fois et je trouve bien .
Par contre comment fais tu pour trouver la limite de en ?
- pour la 2) j'ai bien trouver pour
après je suis pas sûr mais je trouve,
, c'est ça ?

[fatal_error]

phi=x(ln(1+1/x))-1
en linfini, 1/x tend vers 0, dl ordre 1 de ln, ln(1+1/x)~1/x

Pour Mn oui c'est ca.

[Bourasland]

Ok merci, sinon pour la 3) j'ai bien trouvé
Par contre je n'arrive pas très bien à faire le parallèle entre et , je sais que converge vers 0 mais après...

[fatal_error]

Donc ln(Mn+1/Mn)=0 et Mn+1 = Mn après, je ne sais pas si on a le droit de conclure que Mn admet une limite :hein:

[Bourasland]

J'avais penser à faire un passage à la limite
comme,
, par passage à la limite on a:

-> u converge
donc converge aussi car u est composé par

[Bourasland]

J'ai trouvé autre chose:

donc,




Donc la suite est décroissante
Mais après...faudrait montrer qu'elle est minorée ou majorée... :hein:

[Bourasland]

c'est bon j'ai trouvé :id:
Exercice terminé ! :happy2:
Merci pour votre aide en tout cas :++: