Fonctions numériques réelles

[Toshiba]

Bonsoir,

Je n'arrive pas a résoudre cet exercice, pouvez-vous m'aider à le faire s'il vous plaît?

On se propose d'étudier la fonction f définie sur]0,+00[ par:

f(x)= lnx/x+x^2-1/2x.

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O,i(Vecteur),j(Vecteur)) (unité graphique 2cm).On note C la courbe représentative de f dans P.

1/On introduit la fonction auxiliaire g définie sur ]0,+00[ par:
g(x)=x^2+3-2lnx.
a)Donner le tableau de variations de g.
g'(x)=2x-2/x=2(x²-1)/x
g'(x) est nulle pour x=1,négative pour x<1 et positive pour x>1


g(1)=x^2+3-2lnx=4.

b)En déduire la signe de g sur ]0,+00[

b) g'(x)=0 pour x²=1 comme on travaille sur ]0,+oo[ g'(x)=0 pour x=1
0g'(x)<0 g est décroissante
10 g est croissante
donc g passe par un minimum pour x=1
g(1)=4 donc pour tout x de ]0,+oo[ g(x) g(1)=4

2/ Montrer que , pour tout x de ]0,+00[:
f'(x)=g(x)/2x^2;

2/ 2/f'(x)=lnx*2/2*x+x^2-1/2x=2lnx+x^2-1/2x=(2lnx+x^2-1)' *2x-(2lnx+x^2-1)*2x'/4x^2=
(2/x+2x)*2x - (2lnx+x^2-1)*2/4x^2
=2x^2+6-4lnx/4x^2
=2(x^2+3-2lnx)/2*2x^2
=x^2+3-2lnx/2x^2

3/En déduire le sens de variation de f
3/je ne sais pas comment En déduire le sens de variation de f

b/ Calculer
lim f(x) ; quelle en est la conséquence graphique ?
x>0
b/je ne sais pas

c/ Calculer
lim f(x).Soit D la droite d’équation y=1/2x. .
x>+00

Interpréter graphiquement la différence h(x)=f(x)-1/2x puis l’exprimer en fonction de x.

Calculer la limite quand x tend vers +00 de f(x)-1/2x ; interpréter graphiquement le résultat obtenu.

c/je ne sais pas

d/Montrer que C et D se coupent au point d’abscisse Ve ;étudier la position relative de C et de D.

d/je ne sais pas

Je vous remercie par avance de votre précieuse aide
:we:

[Huppasacee]

f ' (x) = g(x) /2x²
on a vu que g(x) est positive pour tout x de R+

[Huppasacee]

f(x)= lnx/x+x^2-1/2x.
quelle est la limite de lnx quand x tend vers 0 ?
et celle de x ? ( préciser le signe)
donc celle de lnx/x
celle de -1/2x ( est ce 1 sur 2x ou 1/2 multiplié par x ?
on en déduit la limite de f lorsque x tend vers 0
il n'y a pas d'indétermination

[Toshiba]

Si x tend vers 0 lnx/x tend vers -;) ainsi que -1/(2x) alors que (1/2)x tend vers 0.
La fonction donc tend vers -;).
Elle a une asymptote verticale en 0

h(x) = f(x) - 1/(2x) =
lnx/x - 1/(2x)

Or lnx/x et 1/(2x) tendent vers 0 en +;)
donc h(x) tend vers 0
la droite d est asymptote oblique à C en + ;)

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