Fonctions en escalier

[Trident]

Bonjour à tous, j'ai deux trois questions sur les fonctions en escalier :

- premièrement, dans le cours, il est dit que si S et S' sont deux subdivisions, on dit que S' est plus fine que S si tous les éléments de S appartiennent à S.
Donc en gros, ça veut dire que l'ensemble (fini) S est inclus dans S' ? Je pense que oui mais c'est bizarre que la définition n'ait pas été énoncée de cette façon là.
Et donc en gros, dire que S' est plus fine que S, c'est dire que "S' est plus grande que S" ? Pourquoi utiliser l'adjectif "fine" alors ? Ça prête à confusion.

- première déduction : est-ce vrai alors que si S est une subdivision adaptée à une fonction f en escalier et que si S' est une subdivision plus fine que S (donc contenant tous les éléments de S au moins), alors S' est adaptée à f ?

Cette preuve est-elle alors correcte ?

Soit n un entier naturel non nul le cardinal de S et S = {x0; x1; ... ; x_(n-1); xn} la subdivision adaptée à f. Comme S' est plus fine que S, alors S est inclus dans S'. Soit p un réel qui n'appartient pas à S mais qui appartient à S' (il y en a un nombre fini). Forcément, il existe j dans {0; 1; ... ; (n-1) } tel que p appartienne à ]xj; x_(j+1) [ . Comme f est constante sur ]xj; x_(j+1)[, alors f est constante sur ]xj; p[ et constante sur ]p; x_(j+1)[.
Bilan, f est constante sur chaque intervalle de la subdivision S' donc elle est adaptée à f.

Peut être que c'est un peu mal rédigé mais l'idée est là (de toute façon, c'est la rédaction qui est le plus dur car la preuve est facile).

- Enfin, il y a un petit exercice que j'ai trouvé sur internet que si S et S' sont deux subdivisions toutes deux adaptées à une fonction en escalier f, alors la réunion S U S' est aussi adaptée à S.

Donc je pense qu'il suffit de dire que comme S est inclus dans SUS', alors SUS' est une subdivision plus fine que f et en vertu de la proposition énoncée ci dessus, on en déduit qu'elle est adaptée à f..

Merci à tous.

[Nightmare]

Salut,

1) Pour la définition d'une subdivision plus fine qu'une autre, cela veut en effet dire que S est inclus dans S'. Une autre manière de le dire est que S' a plus de points que S. Si on dit à ce moment là que S est plus fine, c'est parce que les intervalles créés entre les points sont de plus en plus petits. Si l'on trace à une fonction à partir de ces intervalles, le fait qu'ils soient de plus en plus petits nous permet de mieux la décrire, donc de manière plus fine.

2) Ta preuve est correcte dans le fond, mais comme tu l'as pressenti, il manque un peu de forme. Tout d'abord il faut énumérer S', par exemple S'={s1,...,sk}. Ensuite, pour faire propre, il faut revenir à la définition, et montrer que f est constante sur chaque intervalle ]si,s(i+1)[.

On fait exactement comme tu as fait, en intercalant des xj dans les intervalles

3) C'est ok pour SUS'

[Trident]

Merci Nightmare, toujours aussi clair dans tes interventions ! :we: