Escalier de cantor

[lalalala]

existe-t-il une formule général pour l'intégrale de "l'escalier de cantor"?

[Ben314]

Salut,
Faudrait préciser un peu plus...
Je comprend pas trop le "...formile générale..." alors que tu parle de LE escalier de cantor...

[lalalala]

justement, je sais que cet escalier existe, que la fonction issue de cet escalier a des caractéristiques hors du commun mais je ne connais pas encore sa forme littérale, mais ce qui m'intéresserai sa serai aussi vraiment de connaitre en plus de sa formulation littérale, la formulation littérale de sa primitive (en effet,cela m'intéresserai beaucoup parce que la dérivée de sa primitive n'est pas égale à elle-même!!)

[Ben314]

Ah, d'accord, moi j'avais pas compris vu que dans ton post tu parlait d'intégrale.
En fait c'est une primitive qui t'interesse...
Bon, déjà, si on a bien le même "escalier de cantor", vu que la fonction est continue, sa primitive existe, est dérivable et a pour dérivée la fonction de départ : rien de bien magique ici...
C'est dans l'autre sens que ça déconne un peu (et encore, il faut bien comprendre la théorie de lebesgue) : l'escalier de cantor est dérivable presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue) et a une dérivée nulle donc, si on calcule l'intégrale indéfinie (au sens de Lebesgue) de sa dérivée, on trouve 0 qui n'est pas égal à la fonction de départ.

[lalalala]

merci pour ces explications, et connaissez-vous (si elle existe) la formule littérale de la fonction qui est représentée lorsqu'on parle de cet escalier de cantor, j''ai beau cherché je ne trouve pas de fonction de la forme f(x)=..., f(x,y)=.......

[Ben314]

Une formule "type lycée" f(x)=... avec des additions et tout, il n'y en as pas.
Le plus simple est une définition "graphique" :
1) entre 1/3 et 2/3 la fonction vaut 1/2 puis
2) entre 1/9 et 2/9 elle vaut 1/4 ; entre 7/9 et 8/9 elle vaut 3/4
A chaque fois on coupe les intervalles où elle n'est pas encore définie en 3 et, sur le tiers central, on prend la moyenne entre les valeurs prises au bord.
regarde sur Wikipédia, il doit y avoir un dessin

On peut aussi la définir de façon plus "calculatoire" en écrivant x en base 3 et en donnant la valeur de f(x) en base 2 (mais je trouve que l'on voit moins bien ce que l'on fait)

[Nightmare]

Salut !

Ou sinon avec l'introduction d'une limite du style où K3 est l'ensemble triadique de Cantor, j'ai oublié "truc" (je crois que c'est (1/3)^n)

[Nightmare]

Après vérification,

Modif : Evidemment, ce n'est pas K_3 mais K_n, construit de la même façon que Ben (K1=[0,1]-[1/3;2/3] etc..) dont la limite est alors K_3