Fonctions égales presque partout

par **joridder** » 21 Oct 2008, 12:47

Bonjour à tous!
J'aurai besoin de votre aide concernant la démo d'une propriété assez simple:
"Deux fonctions continues et égales presque partout, sont égales partout."

J'avais pensé montré que ces deux fontions ont même coeff de Fourier, et donc égales (car continues: par théo que je sais démontrer).
Mais je ne sais comment montrer l'égalité de leur coeff de Fourier.

Merci de votre aide et pour toute autre piste!

par **toticonte** » 21 Oct 2008, 13:16

Bonjour,
Pour montrer ce que tu veux il faut:
prendre un x de ton domaine de définition des deux fonctions. la presque égalité impose que ces deux fonctions coincident sur une ensseble dense du domaine de définition(topologie,....). donc tu rouveras certainement une suite dans cette enssemble de "presque partout" qui converge vers x. suppons que cette suite est xn(n dans N) on a alors:
f(xn)=g(xn) (presque égale partout) klk soit n dans N.
la continuité de f et g donne que f(xn) converge vers f(x) et g(xn) vers g(x).
l'unicité de la limite donnera f(x)=g(x).
donc on a montré que klk soit x dans Df=Dg=Domaine de définition f(x)=g(x).
d'ou l'égalité parfaite.

par **ThSQ** » 21 Oct 2008, 15:39

est un ouvert de mesure nulle donc vide.

par **Nightmare** » 21 Oct 2008, 15:50

(f-g) est nulle presque partout donc d'intégrale nulle sur tout segment. Or f-g est continue donc f-g est nulle sur tout segment.

par **kazeriahm** » 21 Oct 2008, 18:23

Nightmare a écrit:(f-g) est nulle presque partout donc d'intégrale nulle sur tout segment. Or f-g est continue donc f-g est nulle sur tout segment.

|f-g| sinon ca ne marche pas

par **joridder** » 21 Oct 2008, 21:46

Je ne peux que vous remercier pour votre aide!
Comme ça, la démo est correcte :-)
Merci!

par **ThSQ** » 22 Oct 2008, 17:52

Enfin utiliser la théorie de l'intégration (et a fortiori Fourier) c'est vraiment surdimensionné pour un exo qui se résume au final à : un ouvert non vide est de mesure non nulle.

par **leon1789** » 22 Oct 2008, 18:10

ThSQ a écrit:Enfin utiliser la théorie de l'intégration (et a fortiori Fourier) c'est vraiment surdimensionné pour un exo qui se résume au final à : un ouvert non vide est de mesure non nulle.

je suis d'accord !
...mais je préfère : un ouvert de mesure nulle est vide
(comme tu avais dit avant)

par **ThSQ** » 22 Oct 2008, 18:11

leon1789 a écrit:...sauf que j'aurais dit

C'est pas absurde en effet :briques:

Fonctions égales presque partout

fonctions égales presque partout

Presque partout

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