Convergence presque partout

[joanie58]

Bonjour,

j'ai cet exercice à faire:

Soit f une fonction bornée définie sur un intervalle et telle que pour tout on a . Montrer que f(x)=0 presque partout sur

[Joker62]

Hello,

C'est quand même étrange, le c n'intervient pas dans l'hypothèse.

[Ben314]

Je supposerais trés fortement que l'hypothèse est
On en déduit que pour tout intervalle puis que pour tout mesurable et on aplique ce résultat à et à pour en déduire que pour presque tout x.

[joanie58]

J'ai demander a mon professeur et Ben314 à bien raison c'est bien

mais je ne comprend pas comment montrer que pour tout mesurable on a que

un ensemble mesurable de [a,b] ressemble à quoi ?

[Ben314]

La "tribu des Boréliens", ça te dit quelque chose ?

[joanie58]

oui c'est la tribu engendré par les intervalles ...donc un élément mesurable de [a,b] est un interval ou une réunion d'interval...?

[joanie58]

oui c'est la tribu engendré par les intervalles ...donc un élément mesurable de [a,b] est un interval ou une réunion d'interval...?

oki je crois que je vois un peu

supposons que je prends , et un élément mesurable de [0,1] alors





mais je ne sais pas trop comment montré sa pour tout élément mesurable de [a,b]...

[joanie58]

Est-ce que vous pouvez me dire si ceci fait du sens:



Soit E un ensemble mesurable de

On a alors que (borélien de ) on a alors que E peut s'écrire comme la réunion d'intervalles ouverts, demi-ouverts et fermés disjoints de

=> où

avec les A_i sont disjoints deux à deux



De plus, on a que tout intervalle peut s'écrire:



(de même pour tout intervalle fermé ou demi-ouvert)


On a alors que pour tout ensemble mesurable E



en vertu de l'hypothèse

[Ben314]

Le principe, c'est (à peu prés) ça, mais c'est un peu plus compliqué.
Une tribu, c'est un truc stable par réunion/intersection dénombrables et par passage au complémentaire.
Donc effectivement, la tribu des boréliens contient en particulier tout ce qui s'écrit comme réunion dénombrable d'intervalles (ouvert ou fermés ou ouvert/fermés), mais hélas, ce n'est pas suffisant car le complémentaire d'une réunion dénombrable d'intervalles n'est pas forcément lui même réunion dénombrable d'intervalles.
Par exemple, l'ensemble Q des rationnels de [0,1] est réunion dénombrable d'intervalles (les intervalles en question étant réduit à des singletons), mais le complémentaire de cet ensemble n'est pas une réunion dénombrable d'intervalles (pourquoi ?)
BILAN : il est difficile de décrire explicitement les éléments de la tribu des boréliens à part par une espèce de phrase pourrie "Ce sont les réunion dénombrables d'intervalles ET les réunion dénombrable de complémentaires de réunions dénombrables d'intervalles ET les réunion dénombrable de complémentaires de réunions dénombrables de complémentaires de réunions dénombrables d'intervalles ET ..."

Il n'empêche que, dans le principe, ce que tu as écrit est correct dans le sens que, si on sait que est nul pour tout intervalle I contenu dans [a,b], on peut en déduire que est nul pour tout borélien de [a,b].
MAIS, c'est un théorème pas totalement trivial : le "Lemme de classe monotone" (...il me semble... :hum: ).

[joanie58]

oki donc j'ai ceci alors:

, on peut écrire I comme

(résultat similaire pour intervalle ouvert, demi-ouvert)

=> (en vertu de l'hypothèse)

et donc en vertu du lemme de classe monotone, on a que est nul pour tout borélien de [a,b]

et donc pour la suite du problème j'ai une proposition qui dit que si avec f une fonction bornée positive et et , alors f=0 presque partout

donc en posant

ensemble mesurable
ensemble mesurable

(est-ce que E^{+} et E^{-} sont mesurable car f est une fonction mesurable donc f^{-1}((-\infty, c)) mesurable? )

avec
et et (pourquoi?)

en vertu de ma proposition (j'imagine qu'on à le même résultat si f(x) est un fonction négative)
on a que

f=0 presque partout sur E^{-}
f=0 presque partout sur E^{+}

on a donc que f = presque partout sur [a,b]

est-ce bien ?

[Ben314]

C'est bon, modulo que tu t'en fout de savoir si E+ et/ou E- sont de mesure nulle.
Si par exemple E+ est de mesure nulle, ça signifie trés précisément que f<=0 presque partout...

[joanie58]

ta raison!! merci :)