Bonjour,
En partant de la courbe de la fonction carré restreinte à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\matbbb R)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\matbbb iR)
(où on remarque que la courbe est en selle de cheval : une parabole croissante pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\matbbb R)
et une parabole décroissante pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\matbbb iR)
), je me suis posé des questions sur la fonction
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\mapsto x^3)
.
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?1))
Premièrement, on remarque que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\mapsto x^2)
a
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?2)
plans où les valeurs de la fonction sont réelles, alors que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\mapsto x^3)
a exactement
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3)
plans (où les valeurs de la fonction sont réelles). On remarque de plus, que pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\mapsto x^2)
on ne peut obtenir une bijection qu'en restreignant le domaine de définition à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb R^+)
(ou
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?i \mathbb R^+)
). Tandis que pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\mapsto x^3)
on obtient une bijection en restreignant le domaine
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb C)
à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb R)
(ou bien
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?e^{\frac{i \pi}{3}} \mathbb R)
ou bien
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?e^{\frac{2i \pi}{3}} \mathbb R)
). J'ose avancer la conjecture suivante : pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\mapsto x^n)
avec
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n>0)
, si
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
est pair, alors on peut obtenir une bijection en restreignant le domaine de la fonction à un demi-plan (à choisir entre plusieurs demi-plans) et si
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
est impair, on peut obtenir une bijection en restreignant le domaine de la fonction à un plan (à choisir possiblement entre plusieurs plans).
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?2))
Si je comprends bien la fonction
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\mapsto \sqrt[3]{x})
n'est pas une fonction sur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb C \rightarrow \mathbb C)
car elle associe à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?1)
trois différentes valeurs à la fois :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?1, e^{2\pi /3}, e^{4\pi /3})
. Mais la fonction
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\mapsto {x^3})
étant bijective sur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb R \rightarrow \mathbb R)
, il doit bien exister une fonction inverse. La fonction racine cubique étant le meilleur candidat pour cela, je me demande comment on oblige la fonction racine cubique à être une fonction ? Je suppose que on le fait en restreignant le domaine d'arrivé de la fonction racine cubique, mais comment peut-on restreindre un domaine d'arrivée à quelque chose de plus petit que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(D))
(où
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?D=\mathbb C)
est le domaine définition de la fonction)?
Merci et bonne journée