Fonctions convexes

[ludovic44]

Bonjour, je lis souvent que si est une fonction convexe sur un intervalle et si un élément appartenant à l'intérieur de I, alors . Il me semble sur le dessin que c'est nécessairement une égalité puisque les fonctions convexes sont continues... Est-ce que je me trompe ?
Merci d'avance !

[Ben314]

Salut.

Est-ce que je me trompe ?

Oui, tu te trompe : une fonction convexe sur un intervalle ouvert est effectivement forcément continue sur cet intervalle (mais sur un intervalle fermé, elle peut être discontinue au bord de l'intervalle) et admet forcément des dérivées à droite et à gauche en tout point de l'intervalle (avec l'inégalité que tu mentionne).
Mais par contre elle n'est pas forcément dérivable sur tout l'intervalle donc les dérivées à droite et à gauche peuvent être différentes : le cas le plus évident étant sans doute celui de la fonction x->|x| (valeur absolue) sur ]-1,1[ qui est bien convexe, mais qui n'est évidement pas dérivable en x=0.

[ludovic44]

D'accord, merci beaucoup !