Fonctions convexes

[mathelot]

Bonjour,

je souhaite améliorer ce document
fct convexes

(fonctions convexes,dernier bouton à droite) )

du point de vue mathématique et pédagogique.

i) il doit y avoir de nombreuses inégalités de convexité intéressantes
à étudier. idées ? (Cauchy-Schwarz,Hölder, Jensen..)
ii)
idée de démo pour
f' croissante --> f convexe .



c'est simplement une application
du théorème des accroissements finis ?


iii) contre-exemple demandé:
est-il possible que la courbe d'une fonction change une infinité de fois de
concavité (style x^2 sin(1/x)) au voisinage d'un point x0
tout en restant dans le même demi-plan délimité par sa tangente en M0(x0,f(x0)) ?

iv)
combien y a t il de manière de moyenner n nombres réels strictement positifs ?
moyenne arithmétique, géomètrique,quadratique,harmonique .. ?
Pour les comparaisons de ces différentes moyennes (avec la relation d'ordre)
utilise t on la convexité des fonctions ?

merci pour vos remarques.

[XENSECP]

Hum précise que ton application g du début est convexe et donc tu obtiens les résultats suivants non ?

Sinon moi quand je pense à une fonction convexe, je pense à l'exponentielle ou la parabole... Et je précise même que la fonction est en deçà de toutes ses cordes et au dessus de toutes ses tangentes :) (un peu de "géométrie" quoi)