Fonctions continues

[Georges10]

Bonsoir à tous.

Svp j'ai traité l'exercice 32 d'ici

J'aimerais que vous voyez

Voilà ce que j'ai fais :

Merci d'avance et bonne soirée !

[Georges10]

. .......

[aviateur]

Bonjour
Tu veux qu'on attrape un torticolis?
heureusement qu'il faut une seule seconde pour te lire et te dire que ce tu as fait et complètement faux.
En effet on te demande de démontrer que f est continue alors la dérivée de f ne doit pas intervenir à aucun moment dans la démo.

[aviateur]

D'autre part c'est étrange ton exo. f est 1-lipchitzienne sur R, elle est donc continue sur R (mieux que ça uniformément continue sur R).
C'est à dire qu'il semble que c'est un exercice pour débutant, i.e utiliser uniquement la définition de la continuité (ou sa caractérisation séquentielle).

[rcompany]

Définition d'une fonction continue en a:

Soient I un intervalle réel, et .
La fonction f est continue en si :

[Georges10]

D'autre part c'est étrange ton exo. f est 1-lipchitzienne sur R, elle est donc continue sur R (mieux que ça uniformément continue sur R).
C'est à dire qu'il semble que c'est un exercice pour débutant, i.e utiliser uniquement la définition de la continuité (ou sa caractérisation séquentielle).

Bonsoir, en fait je savais que la fonction était 1 lipschitzienne et d'après le théorème de Heine elle est uniformément continue donc continue.

Mais je voulais passer par les notions continuités pour faire la démonstration. Mais hélas !

[Georges10]

En effet on te demande de démontrer que f est continue alors la dérivée de f ne doit pas intervenir à aucun moment dans la démo.

Ok mais j'ai utilisé la dérivée car c'est la seule informations que j'ai sur la fonction f.
Donc j'ai fais une demo de type A implique B
Supposons A vraie
..........
......
...
B est vraie.

[aviateur]

Qu 'est ce tu racontes?
Tu dois montrer qu'une fonction est continue sur R.
Ou as tu vu dans les hypothèses que f est dérivable?
D'autre part si on sait que f est dérivable, crois tu vraiment qu'on va te demander que f est continue?

[nix64]

si je peux me permettre
dans la definition de la continuité il suffit de prendre epsilone = nu

[aviateur]

Oui @nix64, c'est clair qu'il n'y pas de doute et c'est presque ça qu'il faut faire. Sauf que fait attention à ta phrase "il faut prendre epsilon=\nu" c'est plutot le contraire qu'il faut dire "il faut prendre \nu=epsilon".
La définition c'est "pour tout epsilon>0, il existe \nu>0 tel que..."
Donc pour tout epsilon >0, il faut trouver un \nu>0 tel que....

On peut utiliser la caractérisation séquentielle de continuité.
Soit a_in R fixé et pour toute suite (u_n) qui converge vers a on a

Ce qui implque que f(u_n) converge f(a). f est donc continue en a.
On en déduit que f est continue sur R

[rcompany]

La fonction identité est continue en tout
c'est-à-dire que:


or on a donc en particulier et donc si alors .
On a donc bien:
qui équivaut à dire que est continue sur .

[Georges10]

Merci pour vos réponses réponses.