Fonctions continues

par **Anonyme** » 21 Fév 2006, 14:59

Bonjour,

Voici une question niveau msup:

1) Déterminer toutes les fonctions continues définies sur R telles que

.

2) Déterminer toutes les fonctions continues définies sur R telles que

.

Merci d'avance pour vos indications ou réponses.

par **El_Gato** » 21 Fév 2006, 15:03

1- La fonction

est continue, définie sur

et à valeurs dans un espace discret:

. Comme

est connexe, elle est constante. Donc f = +1 ou f= -1 partout.

2- On doit déterminer toutes les fonctions continues

telles que

. Cela implique

donc f est définie pour

, partie connexe de

. Par l'argument de 1 appliqué à la fonction

pour

, on trouve que

ou

pour

. En 0, l'équation donne 0. Donc c'est de cette forme sur tout

.

par **Anonyme** » 21 Fév 2006, 15:23

Merci impécable.