Fonctionnelle convexe

[melreg]

Bonjour à tous!

J'espère que le titre du post ne vous aura pas trop rebuté (enfin si vous lisez ces lignes, c'est déjà bon signe!)

Voilà mon problème: je dois montrer que la fonctionnelle J donnée par :
où :
- est un ouvert borné de
- 1 < p <
- u,f sont dans , également

est convexe.

Au début, je ne pensais pas que cela allait être difficile, mais finalement, je ne sais pas comment faire. Ca me paraît d'autant plus bizarre que c'est écrit: "on voit clairement que J est convexe..."

[mathelot]

bjr,

en attendant mieux, quelques idées:

1) utiliser une inégalité de convexité
2) différentier la fonctionnelle J
3) établir le résultat pour un ensemble de fonctions simples
et utiliser un résultat de densité
4) travailler avec le bord de mais là, il n'y a aucune hypothèse de régularité

[melreg]

Oui en fait on travail dans , i.e. l'adhérence de dans
où
est l'ensemble des fonctions de classe sur
est le sous-espace de des fonctions f telles que f et ses dérivées au sens de Sobolev jusqu'à l'ordre p ont une norme finie.

[mathelot]

déja, est-ce que le 1er terme est convexe ? (le 2ème terme ést linéaire,
il ne devrait pas trop gêner)

[melreg]

déja, est-ce que le 1er terme est convexe ? (le 2ème terme ést linéaire,
il ne devrait pas trop gêner)

Je suis d'accord... tout comme le gradient à l'intérieur de l'intégrale, ni l'intégrale elle-même, qui sont des applications linéaires.
Mais la puissance p permet de ne rien faire???

[mathelot]

donc là, on a bien avancé:

est la somme de plusieurs applications linéaires




On regarde ensuite la fonction réelle:

s est deux fois dérivable et

elle est donc convexe et strictement croissante.

La norme de est aussi convexe.

Quand on compose une application convexe avec une application croissante
convexe, que vérifie la composée ?

La première chose à faire est d'écrire des inégalités de convexité
pour la brave fonction

Une fois tout ça effectué, on intégre les inégalités de convexité
sur l'ouvert


PS: pour le confort, on peut considérer que toutes les fonctions sont continues ou indéfiniment dérivables à support compact,
pour ne pas gérer en même temps des difficultés de convexité
et des difficultés dues à la mesure de Lebesgue.

[melreg]

D'accord mathelot, je vais regardé ça de plus près...
Mais tu es d'accord que J est convexe, c'est ça?


Par contre, une fois de plus il ne faut pas se fier au "on voit clairement que J est convexe..."

[mathelot]

oui, ça semble convexe.

prend ses valeurs dans quel espace ? d'après Wiki, c'est un vecteur de

et u, est à valeurs dans ou dans

sinon, d'après ce que g compris du problème du p-laplacien,
il y a un problème de géométrisation:

il s'agit de choisir un maillage adéquat:
soit des triangles, soit des rectangles,etc..
le choix du maillage est lié à la formule approchée de quadrature
à choisir: à 3 points,4 points,etc..
l'intéret du maillage avec des triangles, c'est que l'on peut travailler
en coordonnées barycentriques, adaptées aux inégalités de convexité.
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Il y a une classe importante de fonctions définies sur , surtout si l'ouvert est simplement connexe, ce sont les
fonctions holomorphes, car on différentie alors sous le signe somme.

[melreg]

Merci pour tous ces détails très pointus... vraiment merci beaucoup!