Intérieur d'un convexe

par **egan** » 19 Fév 2013, 22:57

Salut tout le monde,

Est-ce vous avez une idée de comment écrire proprement que l'intérieur d'un convexe est convexe ?

Merci d'avance.

@+ Boris.

par **Nightmare** » 19 Fév 2013, 23:22

Salut,

tu as essayé de faire un dessin? On voit assez bien ce qu'il suffit d'écrire.

par **egan** » 20 Fév 2013, 09:49

Nightmare a écrit:Salut,

tu as essayé de faire un dessin? On voit assez bien ce qu'il suffit d'écrire.

Oui j'ai fait un dessin mais je ne comprends pas bien pourquoi le segment devrait être dans l'intérieur du convexe.

par **Doraki** » 20 Fév 2013, 09:56

T'es dans un quoi ? un espace vectoriel normé ?

par **egan** » 21 Fév 2013, 11:33

Je ne vois pas où tu veux en venir.

par **egan** » 24 Fév 2013, 19:20

Personne ?

par **Nightmare** » 24 Fév 2013, 19:26

Comme te le demande Doraki, dans quel cadre te places-tu? Celui des espaces vectoriels normés? Celui des espaces vectoriels topologiques?

par **egan** » 25 Fév 2013, 21:56

Pardon, je n'avais pas compris la question. Je me place dans un espace vectoriel normé.

par **Nightmare** » 26 Fév 2013, 13:46

Une idée serait la suivante :

Si x et y sont deux points de l'intérieur de C et si z est un point du segment, alors z est l'image de x par une homothétie de centre z et d'un certain rapport 0 < k < 1. Tu peux vérifier que l'image par cette homothétie d'une boule centrée entre x et de rayon suffisamment petit pour être dans C est une boule de centre z contenue dans C, donc que z est intérieur à C.

par **egan** » 26 Fév 2013, 18:40

Je ne vois pas comment mettre en forme ton idée.

par **Nightmare** » 26 Fév 2013, 18:49

x est à l'intérieur de C donc il existe B(x,e), boule centrée en x de rayon e, contenue dans C.

Soit z à l'intérieur du segment [x,y], il existe un k appartenant à ]0;1[ tel que z soit l'image de x par l'homothétie de rapport k et de centre y.

L'image de B(x,e) par cette homothétie est la boule B(z,ke) de centre z et de rayon ke. Il suffit de montrer que cette boule est contenue dans C, pour ça essaye de montrer que chacun de ses points est le milieu d'un segment de la forme [x',y] où x' est un point de B(x,e).

par **egan** » 26 Fév 2013, 18:58

Ok ça va mieux comme ça.
Par contre le milieu, c'est peut-être un peu trop restrictif non ?

par **Nightmare** » 26 Fév 2013, 19:00

Oui, surtout que c'est faux, je voulais dire "chacun de ses points est un point d'un segment blabla"

par **egan** » 26 Fév 2013, 19:06

Ok c'est bon j'ai trouvé merci.

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