Fonction à 2 variables
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 14 Juil 2017, 02:07
Bonjour,
Soit f : R^2 -> R définie par :
=\frac{x+y}{(1+x^2)(1+y^2)})
1/ On pose F=[0,1]x[0,1] justifier que la fonction f est bornée sur F et y atteint sa borne supérieure. On pose
 \in F}{\sup} f(x,y))
2/ Montrer que si la borne supérieure est atteinte en un point de l'ouvert
alors nécessairement
La borne supérieur est-elle un extremum local ? Si oui je peux utiliser le théorème du point critique...3/ Déterminer le maximum de la fonction f sur la frontière de F et le comparer à
Là je suis complètement perdu déjà je comprends pas pourquoi on obtiendrait pas le même M que dans la 2.Comment trouver la frontière de F=[0,1]x[0,1] ? Merci.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 14 Juil 2017, 09:04
Pour la 1/ f est continue sur R comme quotient de fonctions polynomiales qui ne s'annulent pas sur R.
Pour justifier que F est un fermé , comment on fait ? Car je sais que [0,1] est un fermé mais F=[0,1]x[0,1] ?
Après je peux utiliser le théorème : f est continue sur un fermé borné de R^2 alors f admet un maximum sur ce fermé borné et elle y atteint ses bornes.
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aviateur
par aviateur » 14 Juil 2017, 10:50
@ mehdi-128, une dernière fois, poses tes questions sur un seul forum à la fois!!
En effet il y a beaucoup de personnes qui prennent la peine de répondre dans le but d'aider.
Si quelqu'un se fatigue à te répondre ici, qu'il sache que c'est déjà fait ailleurs!!
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Archytas
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par Archytas » 14 Juil 2017, 15:18
Un produit fini de fermé est fermé.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 14 Juil 2017, 19:42
aviateur a écrit:@ mehdi-128, une dernière fois, poses tes questions sur un seul forum à la fois!!
En effet il y a beaucoup de personnes qui prennent la peine de répondre dans le but d'aider.
Si quelqu'un se fatigue à te répondre ici, qu'il sache que c'est déjà fait ailleurs!!
D'accord donc je continue sur l'autre forum.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 14 Juil 2017, 21:33
J'ai donc réussi les 2 premières questions mais la 3) toujours bloqué.
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mathelot
par mathelot » 15 Juil 2017, 00:14
Sur la frontière , la fonction f devient une fonction d'une seule variable, par exemple
)
avec
L'intervalle [0;1] est fermé,borné.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 15 Juil 2017, 12:25
mathelot a écrit:Sur la frontière , la fonction f devient une fonction d'une seule variable, par exemple
avec
L'intervalle [0;1] est fermé,borné.
Donc en fait [0,1]x[0,1] est un espèce de carré et il faut faire le contour ?
1er cas :
:
=\frac{y}{1+y^2})
En calculant la dérivée :
=\frac{(1-y)(1+y)}{(1+y^2)^2})
f(0,y) est croissante sur [0,1] et
)=f(0,1)=\frac{1}{2})
C'est ça ? Je dois faire la même chose pour les autres cas ?
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mathelot
par mathelot » 15 Juil 2017, 13:36
oui
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 15 Juil 2017, 14:29
mathelot a écrit:oui
2ème cas partie haute du carré : f(x,1) avec x appartenant à [0,1]
=\frac{x+1}{2(1+x^2)})
On dérive et on obtient :
=\frac{-x^2-2x+1}{2(1+x^2)^2})
f est croissante sur
et décroissante sur
donc :
)=f(\sqrt{2}-1,1)=\frac{\sqrt{2}}{4(2-\sqrt{2})} = 0,6 > \frac{1}{2})
Donc le maximum de f sur la frontière est :
})
Maintenant il faut déterminer M :
Sur l'ouvert
Donc M vaut bien :
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