Fonction 3 variables

[Zweig]

Salut,

Je n'ai pas vu la théorie autour des fonctiosn à 3 variables. Dans le cadre des TIPE (de Sup), je suis amené à déterminer le max sur [0, 1] de cette fonction



(pour les curieux, c'est lié aux intégrales de Beukers pour la démo de )

Malheureusement, cette expression n'étant pas symétrique, ça va être difficile d'utiliser les inégalités classiques. Par ailleurs, j'ai pensé à une substitution trigonométrique , .

On est donc ramené à déterminer le max de



En fait, il vaut

Avez-vous des idées ? J'ai bien des identités et inéqualities trigonométriques, mais dans l'hypothèse où ...

[busard_des_roseaux]

Avez-vous des idées ? ...

oui, des idées, on en a toujours un petit peu.

Il s'agit de déterminer le max d'une fonction sur un compact connexe
le cube=[0;1]^3
si f est continue, f admet un maximum et l'atteint.

remarque
si le max est atteint à l'intérieur du pavé,il s'agit d'annuler
les coordonnées de la différentielle



et de vérifier que la différentielle
seconde (forme quadratique) est définie, négative, quelque chose comme ça

f étant ,de manière évidente, toujours positive, et nulle
sur le bord du pavé, atteint son maximum à l'intérieur
(sous réserve de continuité)

[Zweig]

Certes, mais comme je l'ai dit, je n'ai pas vu l'étude des fonctions à 3 variables (ce n'est pas au prog de Sup) et j'aimerai bien faire ça de manière disons 'olympique' ...

[busard_des_roseaux]

Certes, mais comme je l'ai dit, je n'ai pas vu l'étude des fonctions à 3 variables (ce n'est pas au prog de Sup) et j'aimerai bien faire ça de manière disons 'olympique' ...

je n'ai pas bien compris la question, la valeur du max est connue ?
il s'agit de déterminer en quel point du pavé il est atteint ?

ps: je veux bien faire les calculs cette aprem, là je dois aller tafer

[Zweig]

Je connais la valeur du max sur [0, 1], mais je voudrai le montrer (sans utiliser la théorie autour des fonctions à 3 variables, en essayant avec ma méthode, ou une autre, élémentaire).

EDIT : Finalement, après réflexions, j'pense pas que j'ai besoin de la valeur exacte ... En fait, j'ai juste besoin de savoir que le max M est entre -1 et 1 car après je fais un passage à la limite sur (voir la méthode exposée dans mon PDF sur l'irrationalité).
C'est "licite" d'utiliser Maple pour avoir une valeur approchée (pour un TIPE de Math) sans démo derrière ?

[busard_des_roseaux]

Je connais la valeur du max sur [0, 1], mais je voudrai le montrer (sans utiliser la théorie autour des fonctions à 3 variables, en essayant avec ma méthode, ou une autre, élémentaire).

EDIT : Finalement, après réflexions, j'pense pas que j'ai besoin de la valeur exacte ... En fait, j'ai juste besoin de savoir que le max M est entre -1 et 1 car après je fais un passage à la limite sur (voir la méthode exposée dans mon PDF sur l'irrationalité).
C'est "licite" d'utiliser Maple pour avoir une valeur approchée (pour un TIPE de Math) sans démo derrière ?

le max est atteint en
à l'intérieur du pavé.
la fonction est à valeurs réelles, ne l'oublions pas.


fixons et
alors la dérivée de la fonction d'une variable

de [0;1] dans R
admet un maximum dans ]0;1[ en
on annule donc sa dérivée.
idem pour les deux autres dérivées (partielles selon x et y)

[busard_des_roseaux]

re-bonjour,

commence les calculs, ça s'arrange très bien.


on commence par dériver selon la variable z à (x,y) fixé.
pour annuler cette dérivée partielle, on peut considrérer
que x(1-x)y(1-y) est juste un coeff et dériver seulement


pour annuler sa dérivée

on obtient

continue avec les deux autres fonctions dérivées..
je dois aller tafer... :hum:

[busard_des_roseaux]

re,

cherchons un maximum à l'intérieur du pavé :doh:

l'annulation des dérivées partielles donne le système suivant
pour les coordonnées du maximum


résolvons les équations (2) et (3) avec inconnue z:


de cette dernière égalité, on obtient

soit
cette égalité exprime la symétrie de f en les variables x et y.
d'où

d'où l'expression de z:

l'égalité

donne

d'où on tire


et


les dérivées ne s'annulent qu'en un seul point intérieur du pavé.
c'est nécessairement un maximum à cause de la positivité de f
et de la compacité du pavé


Ce maximum vaut

[busard_des_roseaux]

coucou Zweig.... :we: j'ai réécrit la conversation, ça devrait être ok :doh: