Fonction "racine de partie entière" - continuité

[Lilietromeo]

Bonsoir,

Pourriez-vous me dire si ce raisonnement tient la route :

Soit f définie par f(x) = racine [x - E(x)] (avec E(x) la fonction partie entière).

Je pose X = x - E(x).
La fonction racine est définie là où X>=0.

Or :
x - 1 < E(x) < x
- x < - E(x) < - x + 1
0 < x - E(x) < 1

x - E(x) supérieur à zéro pour tout réel donc f est définie sur R.

Sachant qu'une fonction usuelle - ici racine(X) - est continue là où elle est définie, puis-je en déduire que f est continue sur R ?

Merci par avance pour votre réponse !

Lili.

[zygomatique]

salut

si g(x) = x - E(x) que peux-tu dire de g ?

[lulu math discovering]

Par hasard, ce problème ne viendrait pas de la coupe animath 2014 ?

[Lilietromeo]

Bonjour,

Zygomatique, que puis-je en dire... en terme de limites ou de continuité ?

Pas que je sache, lulu. C'est un exercice de TD de 1ère année de licence SFT.

[Robot]

Quelle est la limite de E(x) quand x tend vers 1 par valeurs inférieures ?
Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers 1 par valeurs inférieures ?
Quelle est la limite de E(x) quand x tend vers 1 par valeurs supérieures ?
Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers 1 par valeurs supérieures ?

[paquito]

Si x->x-E(x) était continue, x->-x+x-E(x)=-E(x) le serait....

[Lilietromeo]

1) Quelle est la limite de E(x) quand x tend vers 1 par valeurs inférieures ?
2) Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers 1 par valeurs inférieures ?
3) Quelle est la limite de E(x) quand x tend vers 1 par valeurs supérieures ?
4) Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers 1 par valeurs supérieures ?

1) 0
3) 1

1) =! 3) donc la fonction partie entière est discontinue

2) 2
4) 1

2) =! 4) donc.... f n'est pas continue ?

Je m'y perds un peu, et impossible d'être sûre avec le menu Graph de la calculatrice de la continuité d'une fonction quelle qu'elle soit. :triste:

[Robot]

Tes réponses à 2 et 4 sont fausses. Mais, même avec les bonnes réponses, tu auras

Essaie tout de même de trouver les bonnes réponses !

[Lilietromeo]

Ok, merci Robot. C'est bon pour la déduction que f est discontinue sinon ?

Visiblement je ne maîtrise pas du tout la fonction partie entière... :/

Si je prends 1,1 (pour x>1 donc), j'aurais :

1,1 - racine (1,1 - E(1,1)]
1,1 - racine (1,1 - 1)
1,1 - racine (~0) = 1,1 ~ 1

Je retrouve ce que j'avais obtenu... Est-ce que je me trompe en écrivant E(1,1) = 1 ?

[Robot]

Pour la fonction partie entière, ça va, mais par contre je te rappelle que tu as défini la fonction f par .
A quoi riment alors les calculs de ton dernier message ?

[Lilietromeo]

Ha, oui, c'est vrai, excusez-moi !

La fonction que j'étudie est la suivante : , mais dans mon premier post je n'ai évoqué que la racine parce que c'est le morceau qui me posait problème.

Mea culpa, je n'ai plus de tout pensé à vous le repréciser.

Sachant cela, tout marche désormais ?

Dans la question suivante, je dois étudier la continuité de
Via les limites, je trouve que les deux 'bouts' de la somme sont discontinus.

Est-ce que la somme de deux fonctions discontinues est discontinue ?

Merci.

[Robot]

Est-ce que la somme de deux fonctions discontinues est discontinue ?
.

Non.....................

[Lilietromeo]

Comment procéder du coup ?

Il me faudrait juste une piste pour démarrer !

[Robot]

Comment procéder du coup ?

Il me faudrait juste une piste pour démarrer !

Tu peux identifier les points où la fonction "partie entière" n'est pas continue.
Ca te donne l'ensemble des points où la fonction risque de ne pas être continue. Il te reste à vérifier ce qui se passe pour la fonction en ces points. Tu sais peut être que si
,
alors est continue en .