Continuité avec partie entière

[baloo00]

Bonjour,
j'ai la fonction suivante :
f:x -> partie entiere de x + (x - partie entiere de x)²
Je dois montrer qu'elle est continue sur les reels, et je ne vois vraiment pas comment faire..

Merci de votre aide

[vincentroumezy]

Bonjour.
Déjà pour les réels non entiers, c'est trivial.
Après pour les entiers, poses en un k, et détermine l'expression de f sur un voisinage assez petit à déterminer, à gauche et à droite de k. Tu as ainsi 2 expressions différentes de f. Ensuite tu peux montrer que la limite de f à gauche en k vaut la limite à droite en k, et vaut....

[baloo00]

Je pose un k, c'est a dire que je pose x=k? et ensuite je ne vois pas comment déterminer 2 expressions différentes ?

[vincentroumezy]

Oui, tu poses x=k (où appelles le comme tu veux, j'ai juste l'habitude d'appeler les entiers k).
Pose déjà un voisinage de k à droite et un autre à gauche, où f ne varie pas (donc où la partie entière ne bouge pas).

[baloo00]

D'accord, donc si je pose un voisinage de k je peux dire que la k-1=< partie entiere de k =< k+1, c'est ca ? et ensuite je remplace x par ces deux "bornes" et j'étudie leur limite et montre que c'est la meme ?

[vincentroumezy]

Oui, après faut choisir le bon voisinage (pas trop dur).

[baloo00]

C'est à dire le bon voisinage ? (Désolée, je suis un peu lente a comprendre)

[vincentroumezy]

Si tu prends un voisinage trop grand, ton expression sera fausse, vu que si tu dépasses k-1 ou k+1, la partie entière va changer de valeur. Il faut prendre deux intervalles, dont k est une borne (gauche et droite), sur lequel la partie entière ne change pas.