Limite fonction "partie entière"

[alphabeta]

Bonjour,
voila un problème où je sèche complètement, si vous pouviez m'aider...

On note [x] la partie entière de x
1)Soient a et b deux réels strictement positifs.
calculer lim(x=>0) (x/a)*[(b/x)]
calculer lim(x=>0+) (b/x)*[(x/a)]
Que peut-on dire de lim(x=>0-) (b/x)*[(x/a)]?
2)Etudier la continuité de la fonction f définie sur R par: f(x)=[x]+(x-[x])²

Merci d'avance

[kazeriahm]

écris la définition de la partie entière et essaye d'en déduire un encadrement de (x/a)*[b/x] qui te permette de conclure

[tize]

Bonjour,
J'appelle {b/x} la partie décimale de b/x, autrement dit b/x=[b/x]+{b/x} et |{b/x}|<1, avec ça, ça devrait aller...

[alphabeta]

tu me m'expliquer ton raisonnement tize car je ne vois pas où cela peut me mener?

[tize]

Bah pour le premier en tout cas :

et donc ...

[alphabeta]

donc la lim vaut b/a c'est sa?

[xyz1975]

Bonsoir,
Loqu'un ndividu dans la rue vous demande comment on calcule une limite comportant la partie entière vous répondez par :
ON UTILISE L'ENCADREMET SUIVANT :
Pour tout x réel :
x-1 < [x] <= x (attention la dérnière est large mais la premire est stricte)
Ainsi
En remplaçant x dans cet encadrement par b/x puis en multipliant par x/a (faites attention au signe de x d'où la séparation des cas x tend vers 0 par valeurs inf et sup) la limite chechée est alors b/a.

Remarque :
1/Un encadrement utile et qui découle du premier est celui d x :
[x] <= x < [x]+1
2/ Le passage à la limite transforme une ingalité stricte en une inégalit large.

[alphabeta]

pour la limite lim(x=>0+) (b/x)*[(x/a)]

on obtient par ce procéde:

(bx/ba)-(b/x)<=(b/x*[x/a]<(bx/ax)

je ne vois pas comment conclure car lim (bx/ba)-(b/x)= - infini non?

[xyz1975]

pour la limite lim(x=>0+) (b/x)*[(x/a)]

on obtient par ce procéde:

(bx/ba)-(b/x)<=(b/x*[x/a]<(bx/ax)

je ne vois pas comment conclure car lim (bx/ba)-(b/x)= - infini non?

Erreur de calcul!!!!
Je ne vois pas très bien votre fonction est ce que (x/a)[b/x] message 1
ou alors (b/x)[x/a]?

[alphabeta]

il faut déja trouver les limites:
lim(x=>0) (x/a)*[(b/x)]
lim(x=>0+) (b/x)*[(x/a)]
avant d'en déduire qqchose pour:
lim(x=>0-) (b/x)*[(x/a)]?

donc on a vue que lim(x=>0) (x/a)*[(b/x)]=b/a
mais cest pour lim(x=>0+) (b/x)*[(x/a)] que je trouve un encadrement peu utile

[alphabeta]

svp pouvez vous m'aider?

[alphabeta]

pour la deuxième je trouve aussi b/a
est-ce correcte?

[tize]

Salut,
la deuxième c'est avec a et b strictement positifs.
Donc, dès que x-a on a et , donc...
Pour la continuité de f ça a déjà été fait ici

[alphabeta]

peut tu m 'expliquer pourquoi la deuxième limite tend vers 0? car 0 x inf est indeterminé non?

peut tu aussi m'expliquer "dès que x>-a ..."
merci

[tize]

peut tu m 'expliquer pourquoi la deuxième limite tend vers 0? car 0 x inf est indeterminé non?

on a dès que x-a ..."
[/quote]
et bien si 0>x>-a alors 0>x/a>-1 donc [x/a]=-1...

[alphabeta]

désolé d'être un boulet mais d'un coté je comprend bien que b/x est bien un nombre fini mais si l'on fais la limite, lim(x=>0+) (b/x) =+inf non?

[xyz1975]

désolé d'être un boulet mais d'un coté je comprend bien que b/x est bien un nombre fini mais si l'on fais la limite, lim(x=>0+) (b/x) =+inf non?

Bonjour,
Je vais expliquer ce qu'avait fait tize :
En ce qui concerne les limites : il est clair que 0 fois infini est une forme indéterminée.
Lorsqu'on vous demande de calculer la limite de a.x lorsque x tend vers l'infini, vous séparez les cas, lorsque a est nul la quantité a.x est nul avant de faire un passage à la limite, de même pour si x tend vers 0+ alors quelque soit a strictement positif [x/a] est nul (même si il dépend de x) il ne tend pas vers 0 mais il est égal à zéro (on dit en mathématique que c'est un zéro exacte, 0 exacte fois ce que vous voulez c'est un zéro)
Espérons que j'ai pas dit de grosses bêtise.