Fonction positive

[zork]

Bonjour,

Soit (X,T) un espace mesurable et soit f:X-->R une fonction mesurable

1) montrer que |f| est mesurable

je pose avec f^+=max(f(x),0) et f^-=max(-f(x),0)

comme f est mesurable f^+ et f^- doivent l'être

et comme on a dit que f^+ et f^- sont mesurables, |f| l'est

est ce bon?

merci

[Nightmare]

Hello,

c'est correct mais saurais-tu justifier que f+ et f- sont mesurables? C'est là le coeur de l'exercice.

[zork]

non comment ferait t-on?

personnellement j'aurai fais ceci:
f mesurable donc par passage au max ca ne change rien

[Joker62]

Ce n'est pas aussi simple...

On peut écrire max(f(x),0) en fonction de f(x).
C'est une astuce bien pratique

[Joker62]

Moi je ne l'avais pas vu dans ce sens.

f : T --> R est mesurable
|.| : R --> R est mesurable car continue donc :

|.| o f = |f| : T --> R est mesurable

Et à partir de là, on en déduit que f^+ et f^- sont mesurables
Ce qui permet également de prouver la réciproque.