Fonction monotone mesurable

[Dyo]

Bonjour !

Voilà dans un exercice on me demande de montrer qu'une fonction monotone de dans est mesurable (en fait borélienne).

Cela signifie que toute fonction monotone de dans est limite d'une suite de fonctions simples (étagées positives).
C'est ce deuxième résultat que je voudrais montrer. Pouvez-vous m'indiquer une piste ?

Merci d'avance

[abcd22]

Bonjour,

Cela signifie que toute fonction monotone de dans est limite d'une suite de fonctions simples (étagées positives).
C'est ce deuxième résultat que je voudrais montrer. Pouvez-vous m'indiquer une piste ?

Il me semble plus simple d'utiliser la définition de la mesurabilité ici : la tribu borélienne de R est engendrée par les ensembles de la forme donc, si mes souvenirs sont bons il suffit de montrer que l'image réciproque d'un ensemble de cette forme par une application monotone (qu'on peut supposer croissante) est un borélien, ce qui ne devrait pas être trop difficile.

PS : une fonction monotone n'est pas forcément positive donc il faut revoir ton énoncé si tu veux des limites de fonctions.

[Dyo]

PS : une fonction monotone n'est pas forcément positive donc il faut revoir ton énoncé si tu veux des limites de fonctions.

En fait j'ai une généralisation qui dit que si une fonction est mesurable (pas forcément positive) alors elle est limite d'une suite étagée.

La démonstration se fait en considérant f de la sorte:
où et
On a alors et mesurables donc il existe
deux suites étagées telles que et . On en déduit que la suite qui tend vers .

Mais sinon j'aimerais quand même bien montrer qu'une fonction monotone est limite d'une suite de fonctions étagées :p
Merci pour ta réponse.

[abcd22]

Ben il suffit de montrer qu'elle est mesurable, ou de reprendre la démonstration pour les fonctions mesurables.

[Lierre Aeripz]

En fait, une fonction monotone est continue sauf sur un ensemble au plus dénombrable... Ce qui me semble plus fort que la mesurabilité. Pour montrer cela, il faut remarquer que en tout point ta fonction admet des limites à gauche et à droite (monotonie). Si ces deux limites sont égales en un point, la fonction est continue en ce point, sinon, il y a un saut. Il est facile de voir qu'il y a au plus un nombre dénombrables de sauts (l'arguments est qu'une famille sommable est de support dénombrable).
Il reste à montrer qu'une telle fonction est mesurable.

Notons l'ensemble des points de discontinuité et notons la hauteur des sauts correspondante. Je dit alors que est égale pp à une fonction continue donc mesurable. Comme la somme infinie est mesurable (limite fonctions mesurables), f l'est aussi.

J'ai un peu résumé mais tout y est. N'hésite pas à me demander des détails.

[Dyo]

Merci beaucoup ^^

Merci pour l'argument

est égale pp à une fonction continue donc mesurable

J'essaye de me représenter la fonction que tu as définie, mais sinon je comprends bien l'idée

[ffpower]

comme vous compliquez le truc..si f monotone, f^{-1} d un intervalle est un intervalle(donc un borelien).f est donc mesurable

[Lierre Aeripz]

C'est vrai...
Je m'était persuadé en fait que justement ces images réciproques n'étaient justement pas des intervalles, voulant absolument voir une complication.

[Dyo]

Ah oui c'est f(d'un intervalle) qui n'est pas forcément un intervalle... :o

Merci pour cette remarque :)

Je laisse alors tomber la démonstration directe (limite d'une suite de fonctions simples)...