Fonction mesurable

[road runner]

bonsoir
comment montrer qu'une fonction est mesurable ,j'ai compris comment faire (image reciproque d'un element qui engendre la tribu d'arrivé qui doit etre mesurable ..)mais comment le faire en réalité ?

par exemple et 0 sinon ?

merci d'avance

[tize]

Bonjour,
ta fonction est égale à et est mesurable, donc ...

[road runner]

j'ai déja vu ca ,peux tu etre plus explcicite s'il te plait et juste me dire comment géneraliser ca .

merci encore

[tize]

donc de toute manière pour tout ensemble mesurable , est soit égal à soit soit soit ....
Ici c'est un cas particulier facile car une indicatrice d'un ensemble mesurable est toujours une fonction mesurable par suite une combinaison linéaire de celles ci est encore mesurable...
Dans les cas plus généraux, s'il s'agit de la tribu des boréliens, étant donné qu'elle est engendrée par les ouverts, il suffit de montrer que l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert (on peut même se restreindre aux intervalles ouverts ou carrément à ceux du type )...c'est en particulier le cas des fonctions continues puisque l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert et donc une partie mesurable...

[road runner]

merci de ton aide ,pour être sûre que j'ai copmpris
est ce que je pourais avoir une explication avec cette fonction


merci encore

[tize]

Le n ne sert à rien....Dans ce cas précis, c'est facile puisque ... combinaison linéaire d'indicatrices de parties mesurables.

[road runner]

c'est ca qu'il faut faire a chaque fois ? ,on essaye d'ecrire notre fonction comme combinaison lineaire de fonctions indicatrices ?

[tize]

Non pas à chaque fois, et c'est des indicatrices de parties mesurables, toutes les fonctions mesurables ne sont évidemment pas combinaison linéaire de ces indicatrices, il y a d'autre méthodes comme je te l'ai écrit dans le message 4...

[road runner]

oué sinon ca serait trop beau :we: ,
t'aurais pas un exemple d'une autre méthode a me donner s'il te plait ?

[tize]

Je sais pas trop en générale il y a de la continuité ou de la continuité par morceaux et on en déduit que la fonction est borélienne mais tu peux aussi essayer de montrer ces deux exemples importants :
si f et g sont mesurables alors h(x)=max(f(x),g(x)) est mesurable.
si la suite de fonctions mesurables fn -> f simplement alors f est mesurable.

[road runner]

pour la premiere je crois que c'est bon ,mais est ce qu'il y'aurait pas une histoire de "presque partout" la ?

[Joker62]

là une se fait en deux lignes avec max(x,y) = (|x-y|+(x+y))/2
Composée de fonctions mesurables.

Pour la deuxième question), je rajoute que si f est bornée, alors ça converge même uniformément :D

[tize]

Salut Joker :we: ,
je ne comprends pas ta remarque pour la 2),
j'ai dit si les fonctions mesurables fn -> f simplement alors f est mesurable.
Pourquoi f bornée implique-t-il la convergence uniforme ? C'est faux, non ? Il y a des contres exemples assez simples...ou alors je n'ai pas compris ta remarque...

[Joker62]

Lol oui en effet, c'était nimps !!! :)

Je venais de faire le cours en fait, et j'avais pas encore relu ! :)

Donc le vrai truc c'était :
Si f est une fonction positive mesurable, alors on peut l'approximer par une suite de fonction étagées.

Et là, si f est majorée, alors cette suite de fonction converge uniformément.

Désolé encore

[road runner]

bonjour ,je voudrais utiliser l'une des définitions de mesurable ,càd, ( quelque soit a ;
pour montrer que f est est mesurable ,comment m'y prendre ,?
je parle de f= 1 si x >= 0 et -1 si x<0


merci d'avance

[tize]

Bonjour,
fais un dessin dans ce cas là ne peut être égal qu'à , ou

[road runner]

j'ai fait le dessin ,j'arrive à voir qu'on a trois cas pour a ,mais je n'arrive pas à voir ce que représente
pouvez vous m'aider s'il vous plait ,
merci encore

[tize]

Par définition : , tous les x de R dont l'image par f est inférieur ou égal à "a".

[road runner]

ok c'est bon ,
est ce la meme chose pour la suite fn définie plus haut ?