Fonction mesurable

[jujudu597]

Bonsoir,

J'essaie de démontrer ceci
Soient et une application mesurable. Montrons que




donc
or
donc

Donc

Je voulais savoir si c'est juste.

Merci d'avance

[Ben314]

Ben, pour rien te cacher, j'ai à peu prés rien lu, vu que même si c'est juste, je pense pas que ce soit normal d'écrire plus d'une ligne pour montrer ton résultat.
Lorsqu'on a une application , tu peut me rappeller, juste pour voir, ce que c'est que la définition de l'image réciproque d'une partie ?
Et ça donne quoi lorsque tout entier cette définition ?

[jujudu597]

Ben, pour rien te cacher, j'ai à peu prés rien lu, vu que même si c'est juste, je pense pas que ce soit normal d'écrire plus d'une ligne pour montrer ton résultat.
Lorsqu'on a une application , tu peut me rappeller, juste pour voir, ce que c'est que la définition de l'image réciproque d'une partie ?
Et ça donne quoi lorsque tout entier cette définition ?

Oui jai compris, en effet, ça parait plus simple comme ça.
Merci beaucoup.

Sinon je voulais savoir aussi, pourquoi
(ça ne me parrait plus vraiment logique depuis que l'on peu avoir )

[Ben314]

Oui jai compris, en effet, ça parait plus simple comme ça.
Merci beaucoup.

Sinon je voulais savoir aussi, pourquoi
(ça ne me parrait plus vraiment logique depuis que l'on peu avoir )

Ben, de nouveau, il suffit d'écrire les définitions (et de savoir que, par définition, la phrase "" est fausse quelque soit x) :
c'est l'ensemble des de l'ensemble de départ de tels que et comme c'est forcément faux, c'est qu'il n'y a pas de tel .

P.S. Je sais pas trop d'où tu sort ton deuxième truc, mais pour absolument n'importe quelle application tu va toujours avoir :
c'est l'ensemble des de l'ensemble de d'arrivé de tels qu'il existe au moins un tel que .
Sauf qu'il y a aucun dans l'ensemble vide donc il ne risque pas d'y avoir de vérifiant quoi que ce soit...

[jujudu597]

P.S. Je sais pas trop d'où tu sort ton deuxième truc, mais pour absolument n'importe quelle application tu va toujours avoir :
c'est l'ensemble des de l'ensemble de d'arrivé de tels qu'il existe au moins un tel que .
Sauf qu'il y a aucun dans l'ensemble vide donc il ne risque pas d'y avoir de vérifiant quoi que ce soit...

Bah dans ce cas, pour montrer qu'une mesure est une mesure, on doit bien montrer que

[Ben314]

Bah dans ce cas, pour montrer qu'une mesure est une mesure, on doit bien montrer que

Quand on veut montrer qu'on a affaire à un espace mesuré, la mesure est une application dont l'ensemble de départ est une tribu contenu dans c'est à dire l'ensemble des parties de (et l'ensemble d'arrivé est ).
Si on note la mesure, il y a alors effectivement un ambiguité concernant ce que l'on note qui peut désigner
- Soit l'image directe de la partie de la tribu , c'est à dire que l'on regarde comme vérifiant . Dans ce cas on a clairement (ensemble vide)
- Soit l'image de l'élément de la tribu , c'est à dire que l'on regarde comme vérifiant . Dans ce cas on doit avoir (zéro).

Le fond du problème, c'est que l'on note de la même façon l'image f(x) d'un élément de l'ensemble de départ et l'image directe f(A) d'une partie de l'ensemble de départ alors que ce n'est pas du tout la même chose (il faut une nouvelle définition pour l'image directe d'une partie de l'ensemble de départ).
En général ça ne pose pas trop de problème vu que pour lever l'ambiguité, il suffit de regarder si ce qu'on met dans les parenthése du f(..) est une partie ou un élément de l'ensemble de départ.
Sauf que dans le cas d'une mesure définie sur une tribu, l'ensemble vide est à la fois une partie et un élément de l'ensemble de départ...

Il y a la même ambiguité concernant le symbole qui, en fonction du contexte peut désigner soit l'image par la bijection réciproque de f d'un élément (en supposant f bijective), soit l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivé (où il n'est nul besoin de supposer f bijective).
C'est pour cela que certains (rares) auteurs notent de façon différentes l'image directe et l'image réciproque (pour qu'il n'y ait pas d'ambigüité). Mais ça alourdit pas mal donc peu d'auteurs le font (et puis maintenant l'habitude est prise...)

[Ben314]

Pour te donner un autre exemple où on voit l'ambiguité :
Je t'ai dit que dans tout les cas sans exeptions.
En fait, il faut comprendre que c'est vrai dans tout les cas où le symbole f(...) désigne l'image directe d'une parti de l'ensemble de départ.
Mais j'ai tout à fait le droit de considérer, si E est un ensemble quelconque, la fonction f de P(E) dans P(E) qui, à un élément X de P(E) (c'est à dire une partie de E) associe le complémentaire de X dans E.
On aura alors ambigüité vu que est à la fois une parti et un élément de l'ensemble de départ P(E) :
1) si le symbole f(...) désigne l'image d'un élément de P(E).
2) si le symbole f(...) désigne l'image directe d'une partie de P(E).