Fonction linéaire

[fourize]

bonjour !
je me suis bloqué sur un exercice d'algebre lineaire;
donc j'aimerai bien votre aide!
{

soient F,G 2 sous eV de E; on definit la fonction f :F*G-> E ; f(x,y)=x+y
1_montrer que f est linéaire.
2_déterminer le noyau et l'image.
3_montrer que l'on a une équivalence entre f est isomorphisme
et E=F(+)G.
}
un grand merci d'avance à vous tous! :triste:

[abcd22]

Bonjour,
Quelle question n'arrives-tu pas à faire ? La 1 ça doit aller quand même ?

[fourize]

bonsoir

en fait c est ça qui me pose probleme;
ca me semble hyper facile que je doute de tout meme les pistes ;
alors stp aide moi aumoins les pistes ca rassurera

merci!

[abcd22]

Il suffit de prendre la définition d'une application linéaire et de vérifier que f la satisfait.

[fourize]

coucou !

oui mais comment ?
je sais que visiblement c'est fastoche mais
je suis plus sur. je vous demande juste les tuyaux
des trois questions et je verrai bien si je peux m'en sortir

:triste: merci :triste:

[fourize]

pour la 1 ;
j'ai pris x de F et y de G , et j'ai essayé de montrer que x+y appartient a E en utilisant la definition somme direct sur E. c'est pas?
mais je me suis dis non; parce que c'est cette définition qu'on devait
monter à la 3 (confusion peut etre)

definition utilisée: E=F(+)G
pour tout x de F et y de G; x+y appartient E
{ et F inter G = nul

ca colle ca?

[Doraki]

Y'a rien qui te dit que E est la somme directe de F et G.
L'énoncé dit que F et G sont 2 sous-espaces vectoriels de E, c'est tout.

Pour montrer que f : F*G -> E est une application linéaire,
il faut montrer que F*G a une structure d'espace vectoriel,
que pour tout x de F*G, f(x) est bien dans E,
que pour tout scalaire k et x de F*G, f(k*x) = k*f(x),
et que pour tous x et y de F*G, f(x+y) = f(x)+f(y)


Et ta définition de somme directe est mauvaise.

[fourize]

bien !

mais pour X appatenant à F*G f(x) est de E;
c'est un peu choquant car f est une fonction a deux variabes;
c'est pas etrange ca?
que f(x+y)= f(x)+f(y) mais comment ??

:triste:

[Doraki]

F*G est l'ensemble des couples (a,b) avec a dans F et b dans G.

f est une fonction à deux variable mais elle peut aussi se voir comme la fonction qui à un couple x = (a,b) de F*G, associe l'élément a+b de E.

Pour parler de la linéarité de f, il est impératif de regrouper a et b en 1 seule variable.

Mais d'abord tu n'as pas dit que F*G était un espace vectoriel.
Alors c'est quoi F*G, quel est son élément nul, quelle est son addition, etc etc ... ?

[fourize]

bonjour !

vous savez des fois les choses simples
peuvent devenir aussi pénible que l'on pense.

ceci étant dit la premier il fallait juste utiliser la définition suivante;
pour tout x et y de F*G et µ de IR;
f(x+y)= f(x)+f(y)
{
et f(µx) = µf(x)
_pour le deuxième c'est aussi fastauche; juste des définitions .

maintenant ; je sollicite votre aide (ou piste) sur la trois;
sérieux j'ai aucune idée!

merci d'avance!

[abcd22]

Bonsoir,
f est un isomorphisme si et seulement si Im f = ... et Ker f = ..., ensuite tu utilises la 2 pour constater que c'est la définition de E = F (+) G.

[Purrace]

Et le topic de bella viens d'être supprimer alors que je répondais et ca juste par soucis de notation , je comprend plus rien ?

[leon1789]

Et le topic de bella viens d'être supprimer alors que je répondais et ca juste par soucis de notation , je comprend plus rien ?

(moi aussi)
oui, c'est la modération : j'imagine un non respect de la charte (--> question balancée sans y avoir réfléchie avant, probablement)

[fourize]

Bonsoir,
f est un isomorphisme si et seulement si Im f = ... et Ker f = ..., ensuite tu utilises la 2 pour constater que c'est la définition de E = F (+) G.

bonjour !

merci abcd22 pour la piste ; je pense pouvoir me debrouiller maintenant.

:++: verry good :++: