Fonction et interval

[musique137]

Bonjour,

Je fais un exercice et je bloque.

g(x) = ( 1 + e^(-x) )^1/2.

I =] 1 , 2 [

1) Démontrer que pour tout x appartenant à I, g(x) appartient à I.

2) Démontrer que pour tout x appartenant à I, 0 ≤ | g'(x)| ≤ 1/2e ≤ 1/5.

Si quelqu'un a une idée merci.

[Lostounet]

Bonjour,

Je fais un exercice et je bloque.

g(x) = ( 1 + e^(-x) )^1/2.

I =] 1 , 2 [

1) Démontrer que pour tout x appartenant à I, g(x) appartient à I.

2) Démontrer que pour tout x appartenant à I, 0 ≤ | g'(x)| ≤ 1/2e ≤ 1/5.

Si quelqu'un a une idée merci.

Salut,
C'est du niveau supérieur ça?

Si x dans ]1;2[ alors
1<x<2
-2<-x<-1
Par croissance de exp sur R
Exp(-2)<exp(-x)<exp(-1)
1+exp(-2)<...<...

Par croissance de la racine sur R+...

[musique137]

Bonjour,

Merci de la réponse rapide. Oui je suis tout à fait d'accord mais comment savoir sans calculatrice
que ( 1 + exp (-2) ) ^1/2 < 2 ?

Ensuite pour la dérivé j'ai g'(x) = exp (-x) / 2 (1 + exp (-x) ) ^1/2.

En faisant les inéquations j'obtiens :

1 / 2 ( 1 + exp (-1) ) ^1/2 < 1 / 2 ( 1 + exp (-x) ) ^1/2 < 1 / 2 ( 1 + exp (-2) ) ^1/2

Mais je ne sais pas comment faire après pour rajouter exp(x) qu'il me manque pour retrouver g'(x)

[Lostounet]

Bonjour,

Merci de la réponse rapide. Oui je suis tout à fait d'accord mais comment savoir sans calculatrice
que ( 1 + exp (-2) ) ^1/2 < 2 ?

)

On peut toujours partir sur
1 + exp (-2) ) ^1/2 < 2
Équivaut à
(Car tout est positif)
1+exp(-2) <4
Exp(-2)<3
1/exp(2)<3

Qui est toujours vrai

[musique137]

Merci pour cette explication.

Comment fait-on pour g'(x) ?

[fatal_error]

hello,


g' est décroissante, donc sur I, g'(1) est le max et g'(2) le min.

Les valeurs absolues c'est easy puisque g' est positive sur R de toute facon.
La minoration par 0 pareil pour les même raisons

pour le majorant,

avec U > 1 or en particulier pour > 1
donc