Demonstration sur interval ouvert

[Kugge]

Bonjour, je dois répondre à la question suivante :
Démontrer que si I = ]a;b[ est interval ouvert de R alors pour tout x appartenant à I, il existe epsilon > 0 tel que ]x-epsilon;x+epsilon[ est inclus dans I

J'ai essayé de dire que il existe epsilon tel que epsilon = (x+a)/2 si x <= (a+b)/2 ou epsilon = (x+b)/2 si x > (a+b)/2 mais cela me semble incorrect. Qu'en pensez vous ?

[Mateo_13]

Bonjour,

Démontrer que si I = ]a;b[ est intervalle ouvert de R alors pour tout x appartenant à I, il existe epsilon > 0 tel que ]x-epsilon;x+epsilon[ est inclus dans I.

Ce sont deux soustractions, pas des additions :
epsilon = (x-a)/2 lorsque x <= (a+b)/2 et
epsilon = (b-x)/2 si x > (a+b)/2.

Cordialement,
--
Mateo.

[LB2]

Bonjour,

quelle est ta définition d'un intervalle ouvert de R ?

La propriété que tu cherches à démontrer est impliquée par le fait qu'un intervalle ouvert de R est une partie ouverte de R (donc un voisinage de chacun de ses points).

Tout dépend donc d'où tu en es au niveau de ton cours de topologie.