Fonction Implicite?

[Lostounet]

Bonjour,


J'aborde une nouvelle notion, les fonctions implicites.
Voici l'exercice que je dois faire:



1. Trouver toutes les solutions de la forme (0;0;z) >> sans problème

2. Prouver qu'au voisinage de (0;0;1), on peut écrire z comme fonction de (x; y): j'y reviendrai après pour prouver rigoureusement qu'on peut appliquer le th. des fonctions implicites :ptdr:

3. Dériver la relation f(x; y; z(x;y)) calculer la différentielle de phi(x; y) = z en (0;0)

4. Prendre x = 0.03 et y = -0.04 pour déduire une solution approchée en cas d'existence.


Pour la 3) j'ai trouvé en évaluant la différentielle de phi en (0;0) mais du coup je ne sais pas quoi en faire...
J'ai juste trouvé que, étant donné f(x; y ; z) = 0 alors la différentielle au voisinage du plan (?) xy ressemble à une parabole (je me demande si c'est ça)...
Du coup c'est pas beaucoup plus agréable d'avoir du z^2 dans l'équation de départ

Merci de votre aide

[jlb]

salut, phi est une fonction de R² dans R, ta différentielle n'a pas la bonne tête!!!

[Robot]

As-tu dérivé f(x,y,z)=0, comme demandé ? Que trouves-tu ?
Ca te permettra d'exprimer dz en fonction de dx et dy en (0;0;1).

[Lostounet]

De retour !

Bon soit j'ai rien compris, soit j'ai trouvé la bonne différentielle que voici (j'ai refait les calculs au moins 5 fois pour dériver f(x; y; z))


C'est un peu mélangé dans mon esprit les phi et les dz...
:triste:

phi(x; y) = z, du coup dz c'est quoi? dz pour moi c'est presque une somme de dérivées partielles

[Robot]

Je crains que la première clause de l'alternative soit la bonne ...
On attend une réponse dz = machin dx + truc dy, où machin et truc sont les dérivées partielle de en (0;0). En particulier, truc et machin sont des nombres !

Je repose la question à laquelle tu ne réponds pas : que trouves tu en dérivant f(x,y,z)= 0 ?
Ensuite, en se plaçant en (0;0;1), ne peut-on pas en déduire l'expression dz = machin dx + truc dy ?

[Lostounet]

Je crains que la première clause de l'alternative soit la bonne ...
On attend une réponse dz = machin dx + truc dy, où machin et truc sont les dérivées partielle de en (0;0). En particulier, truc et machin sont des nombres !

Je repose la question à laquelle tu ne réponds pas : que trouves tu en dérivant f(x,y,z)= 0 ?
Ensuite, en se plaçant en (0;0;1), ne peut-on pas en déduire l'expression dz = machin dx + truc dy ?

J'ai fait 10 calculs mais visiblement il y a une grosse confusion. Je vais faire une dernière tentative (ce n'est pas la loterie j'ai bien fait le calcul):



f est une fonction de trois variables, x, y et la variable z qui dépend des deux autres. Il faut donc que je dérive par rapport à quelle variable?

[Robot]

Bon, ça s'améliore !
J'ai employé le verbe "dériver" parce que c'était celui employé dans ton énoncé. J'aurais plutôt écrit "différentier" (pas différencier).
Sur une surface de niveau de f (comme f=0), on a df=0, et .
Maintenant ce qu'on te demande, c'est dz en fonction de dx et dy en (0;0;1) (qui est sur la surface f=0).

[Lostounet]

Bon heureusement.
Alors x=y=0
z=1, cela fournit:

dz = dx/2

Pourquoi graphiquement, sur une surfance de niveau, la différentielle est nulle?

[Robot]

Parce que sur une surface de niveau, la fonction est constante. (c'est même en gros la définition de surface de niveau).

[jlb]

Salut,



du coup Matdf =(df/dx,df/dy,df/dz)

et toi tu cherches la diff de fog avec g: (x,y,z)--->(x,y,phi(x,y))

tu as que Matdg =
( 1 0 )
( 0 1 )
(dphi/dx dphi/dy)

tu peux calculer Matdf .Matdg pour obtenir ta différentielle. ( en passant peux-tu me passer les commandes pour une matrice?)

[Lostounet]

C'est comme une ligne de niveau.
dz = -dx/2
Bon donc maintenant si je remplace x et y par des valeurs proches de 0.. qu'est-ce que je dois observer?
Quel est donc l'intérêt de travailler sur (0.3 ; -0.4; z) ... j'ai déjà trouvé le z = +-1 en ce voisinage...

[Robot]

Je ne comprends pas ce que tu écris.
Au voisinage de (0;0;1) la surface f(x,y,z)=0 est donnée par (théorème des fonction implicites). Tu as calculé la différentielle de en (0;0) (c.-à-d. la meilleure approximation linéaire de ) . On te demande de t'en servir pour trouver une solution approchée de f(x,y,z)=0, pour x=0.03 et y=-0.04

[Lostounet]

Le problème vient du fait que je ne 'vois' pas la surface f(x; y; z) = 0
Déjà pour moi f associe à chaque point de l'espace (x; y ; z) un nombre.
Comme une température, et on cherche les points pour lesquels la température est nulle.

Je ne comprends toujours pas l'intérêt de s'écarter un peu de la position (0; 0; 1) ?

[Doraki]

Donc quand tu as une fonction ;) tu ne vois pas d'intérêt à regarder la valeur qu'elle prend sur plus que 1 point ?

Par contre si on s'écarte trop de (0;0;1), ton approximation de la surface par un plan va être mauvaise.

[Lostounet]

Tu veux que je regarde la valeur de ;) au point (0.03 ; -0.04) ?

J'ai approximé ;) (x; y) - ;) (0 ; 0 ) par x/2 ou pas?

Edit: non c'est faux ...

[Doraki]

je sais pas comment tu as fait ton approximation, pourquoi tu me demandes ?

Sinon j'crois que t'as fait une erreur de signe

[Lostounet]

J'utilise la formule de Taylor ?

[Doraki]

Tu as calculé la différentielle de ;) en (0,0) ou pas ?

[Lostounet]

Dz=-0.5 dx non?
J'ai vu l'erreur de signe.

[Lostounet]

Bonsoir,

J'ai un peu réfléchi, et j'ai approximé ma fonction f(x; y; z) au voisinage de (0; 0; 1) par la formule de Taylor:
f(x; y ; z) "=" x*df/dx + y*df/dy + (z - 1)df/dz + f(0; 0 ; 1) + o(...)

Donc j'ai trouvé en exprimant tout cela:

z^2exp(zx)*x + 4y^2z - 2(z - 1)z^2xexp(xz)

Et lorsque je remplace x = 0.03
y = -0.04
et z = -x/2 je trouve que l'expression vaut vraiment quelque chose de très proche de 0...

Ceci dit, lorsque je remplace ces trucs là dans l'équation de départ je trouve un truc complètement incohérent. J'en déduis que j'ai mal compris ce qu'il faut faire