Fonction equidistante sinus

[Fabien08]

Bonjour,

J'aimerais savoir si il est possible à partir d'une fonction sinus f(x) d'obtenir une fonction g(x) ayant toujours la même distance avec f(x) un peut comme la trace noir dans cette exemple : Exemple .
Bien sur si on peut éviter le phénomène de chevauchement c'est encore mieux.

Merci.

[Robic]

Bonjour ! Je ne suis pas sûr d'avoir compris, mais en posant g(x) = sin(x+a) pour un certain a, ça donne une sinusoïde décalée.

[Fabien08]

Bonjour ! Je ne suis pas sûr d'avoir compris, mais en posant g(x) = sin(x+a) pour un certain a, ça donne une sinusoïde décalée.

Ce que je voudrais c'est que les deux fonction forme comme un cylindre:
Exemple
Et que la longueur du segment g qui est perpendiculaire à la tangente de f (fonction bleu ) soit toujours constante.

[Robic]

Ah oui, c'est beaucoup plus compliqué !

On pourrait choisir g(x) = sin(x) - a, ça devrait être assez proche de ce que tu cherches, mais pas tout à fait.

[Fabien08]

Ah oui, c'est beaucoup plus compliqué !

On pourrait choisir g(x) = sin(x) - a, ça devrait être assez proche de ce que tu cherches, mais pas tout à fait.

Si on fait ça on obtien quelque chose de cette forme, c'est ce que je voudrais eviter.
Exemple

(Oui j'aime les exemples )

[chan79]

Salut
Ca correspond à la notion de courbes parallèles.

Les deux courbes ne se déduisent pas l'une de l'autre par translation.
La distance de parallélisme est ici 0,5.

[Fabien08]

Salut
Ca correspond à la notion de courbes parallèles.
Les deux courbes ne se déduisent pas l'une de l'autre par translation.
La distance de parallélisme est ici 0,5.

D'accord merci chan79, je vais essayer ça demain.
Je vois que tu utilise aussi Geogebra il a une méthode pour déterminer ce type de fonction avec ce logiciel ?
Car dans mon exemple j'ai utilisé un lieu pour tracer la seconde courbe ce qui n'est pas terrible vue que ça ne donne pas la fonction.

[fibonacci]

Bonjour;

[chan79]

D'accord merci chan79, je vais essayer ça demain.
Je vois que tu utilise aussi Geogebra il a une méthode pour déterminer ce type de fonction avec ce logiciel ?
Car dans mon exemple j'ai utilisé un lieu pour tracer la seconde courbe ce qui n'est pas terrible vue que ça ne donne pas la fonction.

Sur le site dont j'ai mis le lien, tu as ce qu'il faut pour trouver la paramétrisation cartésienne de la courbe.
Ci-dessous, la sinusoïde est en noir (fonction h) , sa courbe parallèle est en rouge. Elle ne se déduit pas par translation.

[Fabien08]

Sur le site dont j'ai mis le lien, tu as ce qu'il faut pour trouver la paramétrisation cartésienne de la courbe.
Ci-dessous, la sinusoïde est en noir (fonction h) , sa courbe parallèle est en rouge. Elle ne se déduit pas par translation.

Merci chan79 t'as méthode fonctionne très bien.
Maintenant j'aurais aimer pouvoir calculer l'intégrale de la courbe, es possible avec les fonctions paramètres ?

[chan79]

Merci chan79 t'as méthode fonctionne très bien.
Maintenant j'aurais aimer pouvoir calculer l'intégrale de la courbe, es possible avec les fonctions paramètres ?

tu peux calculer une intégrale


Ca fait du calcul et il ne faut pas s'attendre à une valeur exacte.
Pour l'intégrale de 0 à , j'ai: 3.8576984....(à vérifier)

[Black Jack]

f(x) = sin(x)

f'(x) = cos(x)

f(a) = sin(a)
f'(a) = cos(a)
tangente :
Ta : y = (x-a).cos(a) + sin(a)
Ta : y = x.cos(a) - a.cos(a)+ sin(a)

Normale:
Na : y = -x/cos(a) + k
sin(a) = -a/cos(a) + k --> k = sin(a) + a/cos(a)

Na : y = -x/cos(a) + sin(a) + a/cos(a)

Et sur Na, on veut trouver le point B distant de d du point A(a ; sin(a))

B(X ; -X/cos(a) + sin(a) + a/cos(a))

AB = V[(a-X)² + (-X/cos(a) + a/cos(a))²] = d

(a-X)² + (-X/cos(a) + a/cos(a))² = d²

a² + X² - 2aX + X²/cos²(a) +a²/cos²(a) - 2aX/cos²(a) = d²

X²(1 + 1/cos²(a)) - 2aX.(1 + 1/cos²(a)) + a²(1 + 1/cos²(a)) - d² = 0

X = a +/- d/V(1 + 1/cos²(a))

Y = -X/cos(a) + sin(a) + a/cos(a)

Equation paramétrique de g

X = a +/- d/V(1 + 1/cos²(a))
Y = -X/cos(a) + sin(a) + a/cos(a)

Passer du signe + ou - avec le signe de f'(a) --->
*****
Equations paramétriques de g

X = x + (abs(cos(x))/cos(x)) * d/V(1 + 1/cos²(x))
Y = -X/cos(x) + sin(x) + a/cos(x)
*****

On passe donc d'un point P(x , sin(x))
Au point correspondant de Q(X ; -X/cos(x) + sin(x) + a/cos(x)) avec X = x + (abs(cos(x))/cos(x)) * d/V(1 + 1/cos²(x))
*****
Toutes erreurs incluses. :zen:

[Black Jack]

Avec d = 0,5, voila le tracé issu de ma réponse précédente :



:zen:

[chan79]

f(x) = sin(x)

f'(x) = cos(x)

f(a) = sin(a)
f'(a) = cos(a)
tangente :
Ta : y = (x-a).cos(a) + sin(a)
Ta : y = x.cos(a) - a.cos(a)+ sin(a)

Normale:
Na : y = -x/cos(a) + k
sin(a) = -a/cos(a) + k --> k = sin(a) + a/cos(a)

Na : y = -x/cos(a) + sin(a) + a/cos(a)

Bien vu!
Une variante:
Equation de la normale


on peut l'écrire




On doit avoir





soit, comme on veut la courbe parallèle au-dessus de la sinusoïde:



En remplaçant y dans (1)



On retrouve le même résultat qu'avec les formules du site mathcurve: