Fonction discontinue additive

[legeniedesalpages]

Bonjour,

connaissez-vous des fonctions de dans partout discontinues
et vérifiant pour tous réels : .

Merci.

[Finrod]

Je suppose que tu considère la topologie canonique.

Cette équation fonctionnelle détermine ta fonction sur . On a en effet



après, tu as une relation d'équivalence sur , x est équivalent à y si leur différence est rationnelle.

Savoir que f est additive te détermine de même f sur chacune de ces classes d'équivalences, qui sont disjointes.

Reste plus qu'a s'arranger pour ça marche bien, je te conseille f(1)=0 et pour chaque classe d'équivalence, de prendre son image par f constante égale à un de ses représentants.

Après en chaque point x, il faut vérifier la discontinuité i.e. par ex qu'il existe une suite xn qui converge vers x dont dont l'image ne converge pas vers f(x) (il me semble que ça suffit, mais le souvenir n'est pas si récent,à vérifier ). On peut trouver une telle suite par densité de Q.

[legeniedesalpages]

effectivement ça a l'air de marcher,
merci Finrod.

[un_homme]

Bonjour,

connaissez-vous des fonctions de dans partout discontinues
et vérifiant pour tous réels : .

Merci.

Bonjour,

Tu peux aussi au lieu de faire de l'analyse faire de l'algèbre en considérant comme un -espace vectoriel.
Tu prends une base infinie non dénombrable de , B'.
Tu prends un sous ensemble E' dénombrable majoré de B'...
Si tu veux la suite demande là.

[Finrod]

Je viens de voir un problème : Il faut aussi trouver une fonction f qui soit additive sur les classes d'équivalence.

Si x et y appartiennent à des classes différentes, alors leur sommes appartient à une troisième classe.

[Finrod]

un_homme à raison, la solution pour contourner le denier problème es de trouver une

[un_homme]

un_homme à raison, la solution pour contourner le denier problème es de trouver une

Il n'est pas nécessaire je crois de la trouver (construire) il suffit d'avoir son existence.

[legeniedesalpages]

ah ok j'avais oublié ce problème d'additivité au niveau des classes.
Et je n'avais pas pensé au fait qu'il existait une Q-forme linéaire (totalement) discontinue sur IR.
Merci

[Finrod]

Il n'est pas nécessaire je crois de la trouver (construire) il suffit d'avoir son existence.

c'est ce que je voulais dire. c'est intéressant aussi je trouve de savoir que l'on peut la voir comme une sous-famille libre de la famille génératrice formé par des représentants des classes d'équivalences plus haut.

[kazeriahm]

sans rien connaître à la question, il me semble avoir lu qu'on ne peut pas expliciter de Q base de R. Ces bases sont appelées base de Hamel et leur existence équivaut à l'acceptation de l'axiome du choix