Fonction de Classe C1

[houssamhoussni]

salut,
soit f une fonction de R+ dans R , de classe C1, et bornée telle que f''(x)>0 qqsoit x , (f " est la dérivée seconde).
montrez que f est décroissante

[Pseuda]

Bonjour,

Par l'absurde je pense. f" > 0 sur R+ donc f' est strictement croissante et f est convexe et dérivable sur R+. On a alors pour tous x et a dans R+, f(x) >= f(a) + (x-a) f'(a) (une des propriétés de la convexité : f est au-dessus de ses tangentes).

S'il existe a dans R+ tel que f'(a) > 0, alors f tend vers +l'infini quand f tend vers + l'infini, ce qui impossible car f est bornée. Donc f' <= 0 sur R+, f est décroissante.

[Ben314]

Salut,

salut,
soit f une fonction de R+ dans R , de classe C1, et bornée telle que f''(x)>0 qqsoit x , (f " est la dérivée seconde).
montrez que f est décroissante

Comme f'' est strictement positive, c'est que f' est strictement croissante.
Pour tout a de R+ et tout x>a, le théorème des accroissement fini nous dit que f(x)-f(a)=f'(c)(x-a) pour un certain c dans l'intervalle ]a,x[ donc en particulier c>a et donc f'(c)>f'(a). On a donc f(x)>f(a)+f'(a)(x-a) pour tout x>a.
Or, si f'(a) était >0, on aurait f(a)+f'(a)(x-a) -> +oo lorsque x->+oo donc f(x) tendrait aussi vers +oo ce qui contredirait le fait que f est majorée.
Donc f'(a) est négatif ou nul.

EDIT : J'avais pas fait gaffe, mais c'est exactement ce que dit PSEUDA...

[Pseuda]

Bonjour,

@Ben314 Sauf que ce n'est pas exactement ce que j'ai écrit, qui est une bêtise (car une fonction non décroissante sur un intervalle n'est pas une fonction croissante sur l'intervalle). J'ai rectifié. Moralité : ne pas répondre à la va-vite.