Fonction arctan

par **Bloodthirsty** » 13 Jan 2013, 19:48

Salut, j'ai besoin d'un coup de main pour mon exercice :

Considérons g la fonction définie par : g(x) = arctan(x) + 1 -x
1) Montrer que g: R --> R est une bijection. Notons h = g^-1 sa bijection réciproque. Calculer g(0),g(1),h(1),h(pi/4)
2) Déterminer le domaine de dérivabilité D de h et montrer que pour tout x appartenant à D, 1+h'(x)+(1/h(x)^2) = 0

1) Pour la première question j'ai calculé la dérivée, j'ai montré qu'elle était strictement négative donc que g(x) est strictement décroissante. Elle est aussi continue sur R car c'est une fonction trigo et que g est un intervalle de R dans R. Donc g : R-->R est une bijection. C'est bon ?
Ensuite g(0) = 1, g(1) = pi/4, h(1) = arctan(x)^-1 mais pour h(pi/4) j'arrive pas à simplifier.
2) J'ai du mal à déterminer son domaine de dérivabilité

Voilà merci d'avance pour votre aide, bonne soirée.

par **math4pad** » 13 Jan 2013, 23:38

On a g'(0)=0 ce qui implique que h'(1) sera infinie ( h(1) = 0 ). C'est le seul zéro de g', donc la seule valeur qui pose problème pour h' en 1. On peut en déduire D...

Bonne soirée

par **chan79** » 14 Jan 2013, 09:36

Bloodthirsty a écrit:Salut, j'ai besoin d'un coup de main pour mon exercice :

Considérons g la fonction définie par : g(x) = arctan(x) + 1 -x
1) Montrer que g: R --> R est une bijection. Notons h = g^-1 sa bijection réciproque. Calculer g(0),g(1),h(1),h(pi/4)
2) Déterminer le domaine de dérivabilité D de h et montrer que pour tout x appartenant à D, 1+h'(x)+(1/h(x)^2) = 0

1) Pour la première question j'ai calculé la dérivée, j'ai montré qu'elle était strictement négative donc que g(x) est strictement décroissante. Elle est aussi continue sur R car c'est une fonction trigo et que g est un intervalle de R dans R. Donc g : R-->R est une bijection. C'est bon ?
Ensuite g(0) = 1, g(1) = pi/4, h(1) = arctan(x)^-1 mais pour h(pi/4) j'arrive pas à simplifier.
2) J'ai du mal à déterminer son domaine de dérivabilité

Voilà merci d'avance pour votre aide, bonne soirée.

g est dérivable sur R et g'(x)<=0 pour tout x (elle est nulle pour x=0 uniquement)
la limite de g(x) en +inf est -inf
la limite de g(x) en -inf est +inf
g est une bijection de R dans R
g(0)=1 donc h(1)=0
g(1)=pi/4 donc h(pi/4)=1

sauf si a=1 car g'(0)=0
h a une tangente verticale au point (1,0)

par **Bloodthirsty** » 14 Jan 2013, 10:48

Bonjour, merci pour vos réponses, j'ai un p'tit problème pour la dérivée de g(x), je trouve que g'(x) est inférieure ou égale à 0 et non supérieure.

par **chan79** » 14 Jan 2013, 10:51

Bloodthirsty a écrit:Bonjour, merci pour vos réponses, j'ai un p'tit problème pour la dérivée de g(x), je trouve que g'(x) est inférieure ou égale à 0 et non supérieure.

tu as raison, j'ai corrigé.
La dérivée est négative ou nulle
-x²/(1+x²)

par **Bloodthirsty** » 14 Jan 2013, 11:11

J'ai aussi un problème avec h(1) et h(pi/4), je trouve h(1) = 1/arctan(1) = 1,27 environ et non 0

par **Bloodthirsty** » 14 Jan 2013, 15:03

Car pour moi g^-1 = ( arctan(x) + 1 - x) ^-1 = 1/((arctan(x) +1 - x). J'ai tord ?

par **chan79** » 14 Jan 2013, 15:03

Bloodthirsty a écrit:J'ai aussi un problème avec h(1) et h(pi/4), je trouve h(1) = 1/arctan(1) = 1,27 environ et non 0

puisque g(0)=1 on a bien h(1)=0 car h est la réciproque de de g
h(x) n'est pas égal à 1/(arctan(x)+1-x)
tu confonds réciproque et inverse
[img][IMG]http://img202.imageshack.us/img202/3695/27456508.gif[/img]

par **Bloodthirsty** » 14 Jan 2013, 15:15

Ok ! Car on me dit dans l'énoncé que h = g^-1, j'ai tout de suite compris que c'était l'inverse

par **chan79** » 14 Jan 2013, 15:23

Bloodthirsty a écrit:Ok ! Car on me dit dans l'énoncé que h = g^-1, j'ai tout de suite compris que c'était l'inverse

c'est la fonction réciproque
les courbes d'une fonction et de sa fonction réciproque sont sypétriques par rapport à la première bissectrice (y=x)

par **Bloodthirsty** » 14 Jan 2013, 15:45

Si j'ai bien compris pour résoudre h, il faut faire y = arctan(x) + 1 - x, et trouver x, mais la fonction arctan(x) m'embête un peu :x

par **chan79** » 14 Jan 2013, 17:25

Bloodthirsty a écrit:Si j'ai bien compris pour résoudre h, il faut faire y = arctan(x) + 1 - x, et trouver x, mais la fonction arctan(x) m'embête un peu

Pas évident, voire impossible d'exprimer x en fonction de y.
Mais on peut quand même exprimer h'(a) en fonction de a. (voir formule un peu plus haut dans cette discussion)

par **chan79** » 14 Jan 2013, 17:40

Bloodthirsty a écrit:Si j'ai bien compris pour résoudre h, il faut faire y = arctan(x) + 1 - x, et trouver x, mais la fonction arctan(x) m'embête un peu

tu ne peux pas calculer x en fonction de y mais

Ca te mènera à l'égalité demandée au 2

par **Bloodthirsty** » 14 Jan 2013, 18:29

Super ! Exercice terminé, merci pour ton aide précieuse chan79. A la prochaine, j'espère !

Bonne soirée. :)

par **chan79** » 14 Jan 2013, 18:42

Bloodthirsty a écrit:Super ! Exercice terminé, merci pour ton aide précieuse chan79. A la prochaine, j'espère !

Bonne soirée.

A+ bonne soirée aussi

Fonction arctan

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