Fonction arctan x

[cabaline]

Bonjour, j'ai un exercice que je n'arrive pas à commencer : pour tout x dans R, montrer que arctan x = arcsin ( x/racine carré(1+x²))
J'ai du louper quelque chose car j'ai essayé avec tous les résultats connus de mon cours et je ne trouves pas.. si quelqu'un a une idée a me faire partager !
Merci

[Sylviel]

Une idée générale : écrire l'égalité sous forme de différence =0.
Ensuite il s'agit d'une égalité de fonctions compliquée, mais ayant une dérivée "simple"...

[JackeOLanterne]

Deux autres méthodes :

une analytique :
- or d'où :


une géométrique :
- représenter l'arc dont la tangente est x sur un cercle trigonométrique et appliquer Pythagore.

[cabaline]

Merci de vos réponses, pour les dérivées, j'ai les deux dérivés de arctan x et arcsin x cependant, je ne vois pas le lien avec l'égalité.
Pour la deuxieme méthode (JackeOlanterne), cette exercice fait référence à un cours sur les dérivées, alros je ne sais pas si je peux vraiment l'utiliser..

[Sylviel]

Et bien tu veux montrer que h(x)=0 pour tout x.
Tu montres que h est dérivablen et que h'(x)=0.
Cela signifie que h est ...
Il ne reste plus qu'à ...
pour montrer que h(x) est toujours nulle.

[cabaline]

Oui je comprends ça, mais je ne vois pas en quoi montrer cela, prouvera que arctan x = arcsin (x/racine carré 1+x²)

[Sylviel]

Reprends ce que je t'ai dis :

écrire l'égalité sous forme de différence =0

puis

Et bien tu veux montrer que h(x)=0 pour tout x.
Tu montres que h est dérivable et que h'(x)=0.
Cela signifie que h est ...
Il ne reste plus qu'à ...
pour montrer que h(x) est toujours nulle.

[cabaline]

J'ai mis sous forme de différence, j'ai dérivé la relation avec arctan x = 1/ 1+x² et arcsin (u(x)) = u'/ racine carrée (1+u²) et je trouve h'(x) = 1/1+x² - x²/racine carrée (1+x²) différent de 0 , ma dérivée est fausse.. les formules sont elles justes ou non?

[Sylviel]

Les formules sont juste, mais que vaut ton u ? que vaut u' ?

[cabaline]

U(x) = x/racine carrée(1+x²)
u'(x) = x^3 /((racine carreé (1+x²)(1+x²)
deuxieme calcule : u'x = (x²-x+1)/(racine carrée1+x²)

[Sylviel]

J'ai un doute sur ton calcul de dérivé de u...

Essaie de le refaire plus proprement.

[cabaline]

Je trouve 1/ racine carrée (1+x²) j'ai refais mon calcule plusieurs fois e tj'ai toujours le même.. donc h'(x) ne s'annule pas et je ne sais plus quoi faire

[Sylviel]

pour u' ? Dans ce cas c'est bon si je ne m'abuses... je te rappelle que c'est la différence qu'il faut dériver (et je t'assure que la dérivée de la différence est bien nulle, donc si tu ne trouves pas 0 c'est que tu n'as pas dérivé proprement).

[cabaline]

Bonjour, apres plusieurs calculs j'ai enfin trouvé la bonne dérivée, et h'(x) = 0 donc h(x) est constante = k. Or il faut donc montrer que k= 0 pour que l'égalité sois vérifié, et comment je fais ici pour que k=0?

[Sylviel]

essaie de calculer h(x) pour un x particulier.

[Black Jack]

Bonjour, apres plusieurs calculs j'ai enfin trouvé la bonne dérivée, et h'(x) = 0 donc h(x) est constante = k. Or il faut donc montrer que k= 0 pour que l'égalité sois vérifié, et comment je fais ici pour que k=0?

Calcule h(x) pour une valeur quelconque de x.
Tant qu'à faire, il faut se simplifier la vie et calculer h(0) = ...

Et puis conclure.

:zen:

[Sylviel]

Remarque : h(1) se calcule aussi...