Fermat

[sad13]

Bonsoiir, j'ai un souci avec une démo du Th de petit Fermat:

Ils disent ceci dans la démo"
Soit p un nombre premier. Soit a un entier relatif et r le reste de la division euclidienne de a par p.
On sait que a=r(mod p) donc a^p=r^p(mod p) avec r>=0.
Il suffit donc de démontrer le théorème pour a entier naturel.

?

Merci

[Doraki]

Ben quand tu fais une division euclidienne, le reste r que tu obtiens est toujours positif.

[sad13]

Oui, bien entendu mais pourquoi , du coup, dans la démo on se restreint à étudier les naturels et plus les relatifs

[Doraki]

ben puisque le théorème c'est de montrer que a^p = a modulo p,
et qu'on sait qu'on peut avoir r >= 0 tel que a = r modulo p et a^p = r^p modulo p,
si tu parviens à démontrer r^p = r modulo p (où r est donc positif), tu en déduis que a^p = r^p = r = a modulo p.

[sad13]

Merci beaucoup mais

Dans le corrigé, ils ne montrent pas ça:
"r^p = r modulo p (où r est donc positif)"

Voilà le copier coller :

"
Soit p un nombre premier. Soit a un entier relatif et r le reste de la division euclidienne de a par p.
On sait que a=r(mod p) donc a^p=r^p(mod p) avec r>=0.
Il suffit donc de démontrer le théorème pour a entier naturel.

[Doraki]

Si tu parviens à montrer que "pour tout a positif, a^p = a mod p", alors en particulier tu peux changer le nom de la lettre, et en déduire que "pour tout r positif, r^p = r mod p".
Et ensuite tu appliques ça pour montrer le théorème dans le cas où a est un entier relatif quelconque en prenant r = le reste de la division euclidienne de a par p (qui est positif).

[sad13]

Ok merci

"Et ensuite tu appliques ça au cas où a est quelconque en prenant r = le reste de la division euclidienne de a par p."

Du coup, on retombe sur ce que vous disiez au début:

a^p = r^p = r = a modulo p. N'est ce pas? et après c'est fini,

[Doraki]

Oui après c'est fini.

[sad13]

Ok merci, un peu subtil quand même et pratqiue car on étudie que les naturels du coup.