Fcts trigonométriques réciproques

[Nicolas59]

Bonjour

J'ai un problème avec les f-1°f et les f°f-1.

A-t-on tan(arctan x )=arctan(tan x)=x
sin(arcsin x)= arcsin(sin x)=x
cos(arccos x))= arccos (cosx)= x

?

[girdav]

Bonjour.
Toutes les égalités que tu as écrites dépendent de l'endroit où se trouve .
Celles avec le sinus ou le cosinus peuvent rencontrer le problème de la périodicité.

[Nicolas59]

J'avoue que je saisis pas.
Si on prend par exemple les ensembles de départ et d'arrivée de chacune de ces fonctions, on a pas cette égalité?
C'est pas un histoire d'Identité?

[girdav]

On peut regarder l'égalité sur les arcsinus.
est bien définie sur tout , mais par exemple et non .
Pour que soit bien défini il faut déjà que le soit.

[Nicolas59]

Oui
Par exemple:
de la restriction de R: [- k pi/2; kpi/2] à [-1;1]
la fonction sinus admet une réciproque notée arcsinus qui va de [-1;1] à [- k pi/2; kpi/2] avec k appartenant à Z.

Sur ces intervalles, FoF-1 = F-1oF=x ?

[girdav]

Voilà!
Donc quand on parle de bijection, il faut toujours préciser (surtout quand il peut y avoir ambiguïté) les ensembles de départ et d'arrivée.

[Nicolas59]

Donc quand on respecte les intervalles de la bijection, on a l'égalité de la composé de la bijection et de la fonction initiale est égale à x? Dans les 2 sens?

Car j'ai vu un truc: Soit une application f: A---> B
x--->f(x)

FoF-1 = Id b
F-1oF = Id a

Et là j'avoue que ça m'embête^^

[girdav]

Oui, en fait veut dire l'application de dans qui à associe .
En fait va de vers et va de vers donc va de vers .

[Nicolas59]

Bon, en fait si je posais ma question c'est parce:

On dit toujours y=f(x) x=f-1(y)
En l'occurence, y=cos x x= arccos(y)

Mais dans mes démonstrations des dérivées de fcts trigo réciproques j'ai:

y= arcos x x= cos y
C'est ça qui me perturbe en fait.

Avec ça on dit que:

(arcos x)'= 1 / -sin(arcos x) = -1 / sin (y) = -1 / racine(1-cos²y)= -1 / racine(1- x²)

[fourize]

bonsoir Nicolas

y= arcos x x= cos y
C'est ça qui me perturbe en fait.

ce qui te perturbe est beaucoup plus profond que ça !
il s'agit du domaine de définition de tes applications . (je m'explique)

une fonction f:D----> E verifie si et seulement si cette fonction est bijective sur D
ce qui veux dire que sin(arcsin x ) = x est faux si x est en dehors de - et tu vois ce que je veux dire ?

[Nicolas59]

Oui oui je comprends très bien cher fourize.
Je suis tout à fait conscient qu'il faille établir une "restriction" de l'intervalle de départ pour calibrer la dite bijection.
Je te remercie de m'avoir éclairer sur la formule F°F-1=x

En fait pour moi, c'est une application f: X--->Y
x---->cos x
avec y = f(x) bref un classique.
En revanche c'est cette "inversion des rôles" si je puis dire ainsi, qui me chamboule:

y= arcos x alors x= cos y (cf: ma demonstration de la dérivéee au dessus) et pourquoi pas y= cos x alors x= arccos y
Pourquoi jouer comme ça avec les variables x et y.

Cordialement.

[fourize]

bon! comme je l'impression que t'avance dans ta comprehension ! j'en chaine:-)

mais tout d'abord, il ne s'agit pas de "se la jouer entre les variables" comme tu dis, mais plutôt d'exprimer une variable en fonction de l'autre ...

en supposant les domaine convenable.

y = cos x veux dire on exprime y en fonction des x (ici x est l'abscisse)
la fonction à pour but d'exprimer xen fonction de y i.e. y représente les abscisses.
(on pourrait même s'imaginer tourner le repere de 90 ° )
du coup on obtient : x = arccos y et surtout pas x = cos y

(pour me la jouer extremiste: je dirai quand on passe de l'autre coté de l'egalité, on prend la fonction inverse ... )

à plus tard !!