Exprimer des sous-espaces vectoriels de R^4 sous la forme Ve

[Morgane Rivet]

Bonjour à tous,
je suis bloqué sur un exercice d'Algèbre Linéaire.

On se place dans R^4: E={(x1,x2,x3,x4)€R^4|x1+x2+x3+ x4=0}
F= Vect((1,-1,0,0),(0,1,1,1))
G= Vect((1,-1,1,-1))
Exprimez chacun des sous-espaces vectoriels de R^4 suivants sous la forme Vect (v1,....,vk)

E inter F, F inter G, E inter G, E+F , E+G, F+G
I need somebody help.... je ne sais pas du tout comment procéder, je suis sur cet exercice depuis une journée et j'aimerais avoir une méthode, un exemple concret pour le premier "E inter F" pour pouvoir me lancer pour les autres.
Merci d'avance

[Ben314]

Salut.
Un élément de EnF c'est, par définition, un élément qui est dans E et dans F.
Vu la définition du symbole "vect", que peut tu dire d'un vecteur quelconque de F, c'est à dire de quelle forme doivent être les coordonnées (x1,x2,x3,x4) d'un vecteur pour qu'il soit dans F ?
Et si, en plus il doit être dans E, ça signifie quoi ?

[Robot]

Quelques éléments de méthode :
1°) Un sous espace vectoriel de de peut se donner :
a) soit par une famille génératrice (sous la forme Vect(...))
b) soit par un système d'équations linéaires homogènes.
Par exemple, E est donné sous la forme b) (avec un système réduit à une équation), et F et G sous la forme a).
On doit savoir passer d'une forme à l'autre.
2°) Si deux espaces sont donnés sous la forme b), trouver leur intersection est facile : il suffit de mettre bout à bout les deux systèmes d'équations (on peut ensuite échelonner pour avoir un système d'équations linéaires indépendantes pour l'intersection).
3°) Si deux espaces sont donnés sous la forme a), trouver leur somme est facile : il suffit de mettre bout à bout les deux familles génératrices (on peut ensuite échelonner pour avoir une base pour la somme).