Intersection de sous espaces vectoriels.

[Jonny]

Bonjour,

J'ai deux problèmes, qui concernent tous les deux les espaces vectoriels :

- Dans , je dois trouver l'intersection de F1 et F2, qui sont deux sous espaces vectoriels engendrés par deux vecteurs chacun dont j'ai les coordonnées.

Est ce que j'ai le droit de dire que F1interF2 est un sev, puis que je me ramène à l'espace, et travailler avec des équations de plan, pour trouver la droite puis son vecteur directeur ?
Mais dans ce cas-là, comment je pourrais trouver une telle intersection dans ?

- Ensuite, j'ai F1, F2 et F1UF2 qui sont des sevs de E, un K-espace vectoriel.
Je dois montrer que F1 est inclu dans F2 ou F2 inclu dans F1.

Je vois pas bien comment faire :S

Merci d'avance

[uztop]

Bonjour

Bonjour,

J'ai deux problèmes, qui concernent tous les deux les espaces vectoriels :

- Dans , je dois trouver l'intersection de F1 et F2, qui sont deux sous espaces vectoriels engendrés par deux vecteurs chacun dont j'ai les coordonnées.

Est ce que j'ai le droit de dire que F1interF2 est un sev, puis que je me ramène à l'espace, et travailler avec des équations de plan, pour trouver la droite puis son vecteur directeur ?

oui, tu peux, c'est probablement la meilleure méthode

Mais dans ce cas-là, comment je pourrais trouver une telle intersection dans ?

pareil, mais il faut considérer l'équation d'un plan dans , qui est beaucoup plus compliquée que dans . Par contre, comme tu es dans , tu n'es pas sur de trouver une droite: il est tout à fait possible que tes plans ne se rencontrent qu'en un point (0)

- Ensuite, j'ai F1, F2 et F1UF2 qui sont des sevs de E, un K-espace vectoriel.
Je dois montrer que F1 est inclu dans F2 ou F2 inclu dans F1.

Je vois pas bien comment faire :S

Merci d'avance

Il faut raisonner par l'absurde: supposons que F1 et F2 sont deux sev distincts.
F1UF2 est aussi un sev, donc comme un sev est stable par combinaison linéaire, qu'est ce qu'on peut dire (il faut prendre des vecteurs x et y bien choisis)

[Jonny]

Merci, je ne vais pas avoir de problème pour le premier alors.

Pour le second, ça m'est un peu plus flou.

Je suppose F1 et F2 distincts. Il existe x appartenant à F1 mais pas à F2, et il existe y appartenant à F2 mais pas à F1.

x et y appartiennent tous deux à F1 U F2, et comme F1 U F2 est un sev, x + y appartient à F1 U F2 (par stabilité).

x + y n'appartient pas à F2 car x n'appartient pas à F2

x+y n'appartient pas à F1 car y n'appartient pas à F1.

Donc x + y n'appartient pas à F1 U F2.

Contradiction : ces vecteurs x et y n'existent pas, donc F1 inclu dans F2 ou F2 inclu dans F1.

Est-ce juste ?

[uztop]

Excuse moi, je n'avais pas vu ta réponse.
Oui, c'est exactement à ça que je pensais comme démonstration.

[Jonny]

Super merci beaucoup :)

[jeancam]

F1UF2 est aussi un sev

seulement si F1 contient F2 ou si F2 contient F1

[jeancam]

Merci, je ne vais pas avoir de problème pour le premier alors.

Pour le second, ça m'est un peu plus flou.

Je suppose F1 et F2 distincts. Il existe x appartenant à F1 mais pas à F2, et il existe y appartenant à F2 mais pas à F1.

x et y appartiennent tous deux à F1 U F2, et comme F1 U F2 est un sev, x + y appartient à F1 U F2 (par stabilité).

tu veux sans doute dire F1+F2 ou l espace engendré par leur reunion.
par exemple la reunion de deux droite ne forme pas un plan.