Expression par radicaux de la racine cubique d'un complexe

[tournesol]

Bonjour à tous
Pourriez vous avoir l'amabilité de donner votre avis sur le problème posé par ce fil .
http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthr ... 0&id=61527

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
est solution de l'équation

C'est une équation du troisième degré en , Donc s'exprime bien en fonction de et au moyen de racines carrées et cubiques.
Après, on a .

[tournesol]

Bonsoir Gabuzomeu et merci pour ta sollicitude.
Ce que nous aimerions alors , c'est d'avoir au moins une formule pour X sans boucler sur une nouvelle racine cubique d'un nombre complexe .

[GaBuZoMeu]

Le discriminant de l'équation unitaire de degré 3 en est (on suppose , n'est-ce pas ?). Toutes ses racines sont donc réelles. On ne prend donc que des racines cubiques de nombres réels.

[tournesol]

Encore merci
Je dois donc réviser
Je te recontacterais

[GaBuZoMeu]

OK je vois, les formules de Cardan passent par des racines cubiques de nombres complexes. Tu ne veux que des racines de nombres réels (c'est donc autre chose que résoudre par radicaux).

[tournesol]

Bonjour
C'est exactement cela.

[tournesol]

Bonjour
En langage mathématique la question est:
L' équation du troisième degré est elle résoluble dans une extension radicale de incluse dans lorqu'elle admet trois racines réelles?