Exposant complexe d'un nombre complexe.

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planteca
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exposant complexe d'un nombre complexe.

par planteca » 26 Déc 2018, 22:51

J'ai fait un programme qui affiche en couleur et intensité le résultat d'une fonction complexe.
Exemple f(z) = z³-1 = (x+iy)³-1 . D'un point x,y on calcule le résultat de la fonction et on obtient un X,Y. On peut convertir sous forme polaire et l'argument devient une couleur en RGB de 0 à 360 , le module l'intensité de cette couleur. Ça marche.
Ma question. je veux faire le graphe de f(z) = (x+iy)^i. Quel sont les parties Réelle et Imaginaire disons X,Y ?

Merci



FLBP
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par FLBP » 26 Déc 2018, 23:44

Salut,
si tu as un nombre complexe de la forme :

tu peux le transformer sous sa forme exponentielle :


(signe dépendant du quadrant, et quand )
du coup:

planteca
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par planteca » 27 Déc 2018, 03:13

Merci
Ceci devrait répondre aux cas suivants : (i)^i, (-i)^i, (1)^i, (-1)^i tous de réels.......
Je voulais savoir ce qui se passait ailleurs . Je ferai mon graphe ....
Merci encore

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mathelot
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par mathelot » 27 Déc 2018, 03:44

bonsoir,
pour ,l'équation



d'où



on coupe le plan complexe selon la demi droite d'équation et
et l'on choisit une détermination de l'argument entre







n'est pas défini.

Black Jack
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par Black Jack » 27 Déc 2018, 12:30

Salut,

Je n'ai pas compris pourquoi (-1)^i n'est pas défini.

Où est l'erreur dans :

-1 = e^(i.Pi)

(-1)^i = (e^(i.Pi))^i = e^(-Pi)

Ma calculette donne ce résultat (ce qui n'est pas une preuve d'exactitude)

8-)

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mathelot
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par mathelot » 27 Déc 2018, 12:44

Log(-1) n est pas defini car -1 a deux arguments
Pi et -pi. On n'a pas de raison de choisir l'un plutot que l'autre.

Black Jack
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par Black Jack » 27 Déc 2018, 12:52

Merci.

8-)

Black Jack
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par Black Jack » 27 Déc 2018, 13:11

J'ai quand même un petit soucis.

Par exemple z = 1+i peut se représenter par z =V2 * e^(i.Pi/4)

Mais évidemment on a aussi z =V2 * e^(i.(Pi/4 + 2k.Pi))

Par contre si on veut n'utiliser que l'argument principal, il y a une et une seule possibilité qui est : z =V2 * e^(i.Pi/4)

Par définition, l'argument principal est compris dans ]-Pi ; Pi]

Mais si on fait cela, alors, il n'est pas question d'utiliser -Pi et donc -1 = e^(i.Pi)

Le raisonnement est donc (peut-être) à faire sur ]-Pi ; Pi] ??

FLBP
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par FLBP » 27 Déc 2018, 13:23

L'intervalle est une convention comme le ,
on aurait pu prendre , mais on peut parfois dire que par convention (pour le premier intervalle)

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Ben314
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par Ben314 » 27 Déc 2018, 17:40

Salut,
planteca a écrit: Ma question. je veux faire le graphe de f(z) = (x+iy)^i. Quel sont les parties Réelle et Imaginaire disons X,Y ?
Salut,
Perso, là où je comprend FRANCHEMENT PAS comment vous (*) raisonnez, c'est de voir aborder la question "comment calculer (x+iy)^i" sans que ne te vienne à l'esprit la question de "comment définir (x+iy)^i".

Perso., ça me fait très exactement la même impression que, sous prétexte que l'on sait parfaitement ce qu'est la définition des mamelle dans le cas d'un mammifère , ben tu te posait la question de savoir où sont situées les mamelles d'un vers de terre sans même te demander si ça a du sens de parler des mamelles d'un verre de terre !!!!

(*) Et tu est hélas loin d'être le seul dans ce cas . . .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Carpate
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par Carpate » 27 Déc 2018, 18:17

vers de terre sans même te demander si ça a du sens de parler des mamelles d'un verre de terre

Ah Ah
Peut-être dû aux libations de fin d'année

planteca
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Re: exposant complexe d'un nombre complexe.

par planteca » 27 Déc 2018, 21:21

Ben314 a écrit:Salut,
planteca a écrit: Ma question. je veux faire le graphe de f(z) = (x+iy)^i. Quel sont les parties Réelle et Imaginaire disons X,Y ?
Salut,
Perso, là où je comprend FRANCHEMENT PAS comment vous (*) raisonnez, c'est de voir aborder la question "comment calculer (x+iy)^i" sans que ne te vienne à l'esprit la question de "comment définir (x+iy)^i".

Perso., ça me fait très exactement la même impression que, sous prétexte que l'on sait parfaitement ce qu'est la définition des mamelle dans le cas d'un mammifère , ben tu te posait la question de savoir où sont situées les mamelles d'un vers de terre sans même te demander si ça a du sens de parler des mamelles d'un verre de terre !!!!

(*) Et tu est hélas loin d'être le seul dans ce cas . . .





Est-ce que ça existe un correcteur orthographique ?????? :o

 

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