Calcul d'un exposant de lyapunov

[chupito]

Bonjour,
Je vais avoir un examen de physique non linéaire à la rentrée et je sollicite votre aide.

On considère l'application : X(n+1) = |1-2X(n)| ,condition initiale X(0) appartient à [0,1].

-Il me demande de déterminer les points fixes et leur stabilité ( ça je sais faire).
-Déterminer l'exposant de lyapunov pour des trajectoires qui sont initialement proches à 1 de ces points fixes.
-Peut on dire que l'application est chaotique ou non( ça je sais faire , mais j'ai pas l'exposant :mur: )?
-On suppose qu'on simule cette application de façon numérique avec 1 ordinateur ayant une précision relative de 10^(-20) : déterminer le nombre d'itérations après lequel les trajectoires deviennent quasi aléatoires.

Je ne sais pas répondre à la 2) et 4) ( | | veut dire valeur absolue; (n) c'est pour indice "n", ^ c'est pour puissance).
Cordialement

[Arkhnor]

Bonsoir.

L'application étant affine par morceaux, de dérivée en module partout égale à 2, les dérivées des itérées ne sont pas très difficile à calculer.

[chupito]

Bonsoir.

L'application étant affine par morceaux, de dérivée en module partout égale à 2, les dérivées des itérées ne sont pas très difficile à calculer.

Bonjour, en effet : j'ai trouvé 2 points fixes 1 et 1/3 , la dérivée étant égale à 2 c'est facile d'avoir la stabilité.
Mon problème est la question sur l'exposant de lyapunov, je connait une formule qui est:

delta(x(n))=delta(x(0))*exp(landa*n)

avec landa exposant de lyapunov , mais je n'arrive pas à l'appliquer ( mon prof a juste donné la formule sans expliquer)

[Arkhnor]

T'as vraiment un cours à la physicienne ...

L'exposant de Lyapunov se calcule à l'aide des dérivées de l'application qui définit la dynamique. C'est pas étonnant, c'est essentiellement la dérivée qui caractérise la dynamique d'une application.

Il représente l'évolution de la dérivée le long de la trajectoire. Ce que dit ta formule, c'est que la dérivée de l'application en est sensiblement égale à . Donc si l'exposant est strictement positif, la dérivée (en module) croit exponentiellement vite le long de la trajectoire, et s'il est strictement négatif, elle décroit exponentiellement vite vers 0. La valeur de l'exposant précise mieux cette vitesse exponentielle.

Si l'exposant est nul, on ne peut rien dire.

Pour revenir à ton exercice, tu dois calculer la dérivée (ou plutôt son module) le long d'une trajectoire et trouver un équivalent de cette quantité de la forme . La valeur de sera l'exposant de Lyapunov.

Comme le module de la dérivée est constant partout, la dérivation des fonctions composées donne un résultat très agréable pour les valeurs de la dérivée le long d'une trajectoire.

[chupito]

T'as vraiment un cours à la physicienne ...

L'exposant de Lyapunov se calcule à l'aide des dérivées de l'application qui définit la dynamique. C'est pas étonnant, c'est essentiellement la dérivée qui caractérise la dynamique d'une application.

Il représente l'évolution de la dérivée le long de la trajectoire. Ce que dit ta formule, c'est que la dérivée de l'application en est sensiblement égale à . Donc si l'exposant est strictement positif, la dérivée (en module) croit exponentiellement vite le long de la trajectoire, et s'il est strictement négatif, elle décroit exponentiellement vite vers 0. La valeur de l'exposant précise mieux cette vitesse exponentielle.

Si l'exposant est nul, on ne peut rien dire.

Pour revenir à ton exercice, tu dois calculer la dérivée (ou plutôt son module) le long d'une trajectoire et trouver un équivalent de cette quantité de la forme . La valeur de sera l'exposant de Lyapunov.

Comme le module de la dérivée est constant partout, la dérivation des fonctions composées donne un résultat très agréable pour les valeurs de la dérivée le long d'une trajectoire.

Merci de ta réponse , j'ai trouvé!

[Arkhnor]

Et donc quelle valeur tu trouves pour l'exposant ? Ça permettrait de vérifier la réponse ...

[chupito]

Et donc quelle valeur tu trouves pour l'exposant ? Ça permettrait de vérifier la réponse ...

je trouve ln(2) en appliquant la formule.

[Arkhnor]

C'est parfait ! :)