Explication

par **Dante0** » 07 Jan 2014, 17:35

Bonjour,

J'ai besoin de quelques précisions sur l'exercice suivant :

Avant une élection, un candidat affirme qu'il est sur de dépasser le score des 30%. Pour savoir s'il a raison, on interroge un nombre suffisant de personnes en souhaitant que le risque de dire qu'il a raison alors qu'il se trompe n'excède pas 0,05.

Si on interroge 500 personnes est-ce que 32% d'intentions de votes dans l'échantillon sera considéré comme significatif ?

On sait que

(variable observée) suit une loi de binomiale
espérance :

variance :

Donc

converge vers

Je pense que j'ai déja posé la question, mais j'oublie la raison à chaque fois, pourquoi la variance/n n'est elle pas de

tout simplement ? C'est a dire pourquoi n'a -t-on pas

par **Dante0** » 07 Jan 2014, 21:41

:help::help::help:

par **Dante0** » 09 Jan 2014, 16:18

:help: :help: :help:

par **Sylviel** » 09 Jan 2014, 16:28

Si on interroge 500 personnes est-ce que 32% d'intentions de votes dans l'échantillon sera considéré comme significatif ?

je ne sais pas trop ce que cela signifie un "échantillon significatif".

Pour l'histoire de variance c'est parce que la variance "est un carré".

Pobs =

donc Var(Pobs) = 1/n² Var (

)

comme les X_i sont iid on a Var (

) = n*Var(Xi)

et donc
Var(Pobs) = n/n² Var(Xi) = p(1-p)/n

par **Dante0** » 09 Jan 2014, 16:52

Sylviel a écrit:je ne sais pas trop ce que cela signifie un "échantillon significatif".

Pour l'histoire de variance c'est parce que la variance "est un carré".

Pobs =
donc Var(Pobs) = 1/n² Var ()

comme les X_i sont iid on a Var () = n*Var(Xi)

et donc
Var(Pobs) = n/n² Var(Xi) = p(1-p)/n

Pourtant dans une loi de bernoulli la variance est de

non ?

Supposons qu'on ait un exercice avec une loi de bernoulli qui implique une loi normale.
C'est possible ?
Est-ce qu'on pourrait avoir une variable X_i qui suit une loi de bernoulli et à laquelle on pourrait appliquer le TCL ?

par **Sylviel** » 09 Jan 2014, 17:06

Oui Var(Xi) = p(1-p) je l'ai utilisé à la fin...

Qu'est-ce que tu n'as pas compris dans mon explication ?

Bien sûr que l'on peut avoir un exo avec bernoulli et TCL :
le TCL s'applique à toute suite de va iid de carré intégrable. Les suite iid de Bernoulli en font partie.

par **Dante0** » 09 Jan 2014, 17:16

Sylviel a écrit:Oui Var(Xi) = p(1-p) je l'ai utilisé à la fin...

Qu'est-ce que tu n'as pas compris dans mon explication ?

Bien sûr que l'on peut avoir un exo avec bernoulli et TCL :
le TCL s'applique à toute suite de va iid de carré intégrable. Les suite iid de Bernoulli en font partie.

Donc le cas que tu m'a présenté est valable dans le cas d'une loi de bernoulli, mais dans le cas d'une loi binomiale on a :

Donc lorsqu'on passe en TCL on devrait avoir V(X)/n = p(1-p) non ?

par **Sylviel** » 09 Jan 2014, 17:16

Soit plus précis là je ne comprends pas ce que tu dis.

par **Dante0** » 09 Jan 2014, 17:27

*Dans le cas d'une loi de Bernoulli :

Donc si on applique le TCL à X

on dira que

converge vers

(c'est la formule)
donc

converge vers

*Dans le cas d'une loi Binomiale

on dira que

converge vers

(c'est la formule)
donc

converge vers

C'est bien ca non ?

Or ici on est en présence d'une loi Binomiale et on est dans le cas Bernoulli, ou alors j'ai rien compris ce qui est surement le cas.

par **Sylviel** » 09 Jan 2014, 17:34

On applique le TCL à une suite de va iid.

Ton problème c'est que tu mélanges 2 n.

Dans le cas de Bernoulli tu as une suite iid de loi de bernoulli de param p.
Si m_n est leur moyenne empirique alors m_n "tends vers" une loi normale N(p, p(1-p)/n).

Rq : ce tends vers n'a pas de sens mathématique rigoureux car il y a du n à gauche de la loi. Mais on peu le remplacer par "ressemble à" pour n grand. Pour être rigoureux il faut faire passer le n de l'autre côté...

Dans le cas d'une binomiale, de quoi parles tu ? D'une suite de Binomiale ? D'autres chose ?

par **Dante0** » 09 Jan 2014, 17:41

Sylviel a écrit:On applique le TCL à une suite de va iid.

Ton problème c'est que tu mélanges 2 n.

Dans le cas de Bernoulli tu as une suite iid de loi de bernoulli de param p.
Si m_n est leur moyenne empirique alors m_n "tends vers" une loi normale N(p, p(1-p)/n).

Rq : ce tends vers n'a pas de sens mathématique rigoureux car il y a du n à gauche de la loi. Mais on peu le remplacer par "ressemble à" pour n grand. Pour être rigoureux il faut faire passer le n de l'autre côté...

Dans le cas d'une binomiale, de quoi parles tu ? D'une suite de Binomiale ? D'autres chose ?

Du n à gauche de la loi ? Tu veux dire dan le m_n ? Quels sont ces 2 n que je confonds ?
Ben cet exercice est censé représenter une loi binomiale...
La différence entre binomiale et Bernoulli c'est juste que dans la binomiale c'est plusieurs fois bernoulli ?

par **Sylviel** » 09 Jan 2014, 17:45

Si tu veux appliquer le théorème central limite tu dois avoir une suite iid (Xi).

Dans ton cas de Binomiale quelle est ta suite iid ? Une suite de Bernoulli dont tu veux la somme ? Ou une suite de Binomiale ?

par **Dante0** » 09 Jan 2014, 17:53

Sylviel a écrit:Si tu veux appliquer le théorème central limite tu dois avoir une suite iid (Xi).

Dans ton cas de Binomiale quelle est ta suite iid ? Une suite de Bernoulli dont tu veux la somme ? Ou une suite de Binomiale ?

Je suis tellement à l'ouest.. :ptdr:
Ben j'ai l'énoncé la. ^^

par **Sylviel** » 09 Jan 2014, 22:36

Le TCL en rapide (voir le cours pour être plus précis) :

Si Xi est une suite de va iid de carré intégrable, alors
V(n) * moyenne empirique (ce que tu note avec une Xbar_n) converge en loi vers une loi normale.

Conséquence :
1) une somme (i=1 à N) de va iid ressemble à une loi normale (pour N grand).
Les paramètres se déduisent des formules sur espérance et variance :
E(\sum Xi) = \sum E(Xi) = N * E(Xi)
et pour la variance :
Var(\sum Xi) = \sum Var(Xi) ............. car indépendance !!!(sinon ce serait faux)
= N * Var(Xi) .............. J'insiste : variance, pas écart-type

2) la moyenne empirique Xbar_N ressemble (quand N grand) à une loi normale
(obtenue de la précédente en divisant par N) :
E(Xbar_N) = E(Xi) ............. (on retrouve la loi des grands nombres)
Var(Xbar_N) = N/N² Var(Xi) = Var(Xi)/N

Donc l'écart-type d'une moyenne empirique se réduit en V(N), i.e pour avoir une précision 10* supérieur dans un sondage il faut 100 fois plus (et non pas 10*plus) de données.

par **Dante0** » 10 Jan 2014, 14:15

D'accord, j'ai bien compris tout cela.
On est présence d'une loi Binomiale ici puisqu'on répète 500 fois une expérience succès/échec.

Ici :

suit une loi Binomiale :

Donc

suit une loi normale de paramètre :

soit

non ?
Puisqu'en passant à

on divise la variance par n car

C'est une définition non ?

par **Sylviel** » 10 Jan 2014, 14:21

Soit plus précis que ça pour éviter des confusions. Si Xi est une loi binomiale alors Xbar_500 est la moyenne de 500 tirage de loi binomiale, est-ce vraiment ce que tu veux dire :hein:

Ne veux tu pas dire : Xi est une loi de Bernoulli

est une loi Binomiale (qui ressemble à une loi normale, csq du TCL)

?

par **Dante0** » 10 Jan 2014, 14:33

Ben je ne sais pas ce qu'il faut dire justement :/
D'après l'énoncé je dois dire que c'est X_i qui suit une loi binomiale ou la somme des X_i ?

par **Sylviel** » 10 Jan 2014, 14:41

Et bien ça dépend ce que tu appelles Xi. A toi de faire l'effort de dire précisément les choses...

Xi représente ...

Xi vaut 0 si ...
Xi vaut 1 si ...
...

par **Dante0** » 10 Jan 2014, 14:49

Sylviel a écrit:Et bien ça dépend ce que tu appelles Xi. A toi de faire l'effort de dire précisément les choses...

Xi représente ...

Xi vaut 0 si ...
Xi vaut 1 si ...
...

Je ne sais pas car je n'ai pas compris justement, tu aurais fait quoi face à un tel énoncé ? Bernoulli ou Binomiale ?

par **Sylviel** » 10 Jan 2014, 14:57

Mais tout dépends de quoi tu parles !

Tu dis que tu n'as pas bien compris mais malgré mon insistance tu ne veux pas définir correctement les choses :mur:

Avant une élection, un candidat affirme qu'il est sur de dépasser le score des 30%. Pour savoir s'il a raison, on interroge un nombre suffisant de personnes en souhaitant que le risque de dire qu'il a raison alors qu'il se trompe n'excède pas 0,05.

Si on interroge 500 personnes est-ce que 32% d'intentions de votes dans l'échantillon sera considéré comme significatif ?

Soit Xi le résultat du sondage pour la ième personne. Il vaut 1 si la personne vote pour le candidat, 0 sinon.

--> Tu aurais pu écrire cela, non ?

Donc Xi est une variable de Bernoulli de paramètre p, où p est la proportion de gens qui votent pour le candidat en question.

S500 est la somme de 500 variable de Bernoulli iid, donc il s'agit d'une loi Binomiale
B(500 p, 500p(1-p) ), que l'on peut approximer par une loi Normale de même paramètres.

La proportion de personnes qui votent pour lui sur les 500 interrogés est S500 / 500,
que l'on peut approximer par une loi normale de paramètre N(p, p(1-p)/500)

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